Η Φυσική της Περιστρεφόμενης Φιάλης

Σε προηγούμενη δημοσίευσή μας με τίτλο Η Φυσική πίσω από το πέταγμα της μποτίλιας παρουσιάσαμε μία ενδιαφέρουσα προσέγγιση της δημοφιλούς συνήθειας των μαθητών να πετούν τις πλαστικές φιάλες του νερού με σκοπό αυτές να προσγειωθούν κάθετα στην επιφάνεια του θρανίου τους. Το παρακάτω άρθρο από το American Journal of Physics παρουσιάζει μία πιο εμπεριστατωμένη και αναλυτική προσέγγιση του φαινομένου, μέσα από τη μελέτη πειραματικών και θεωρητικών δεδομένων, που λήφθηκαν από μία ομάδα προπτυχιακών φοιτητών του πανεπιστημίου Twente της Ολλανδίας.

Των P. J. Dekker, L. A. G. Eek, M. M. Flapper, H. J. C. Horstink, A. R. Meulenkamp, and J. van der Meulen. Faculty of Science and Technology, University of Twente,The Netherlands
Από το American Journal of Physics

Το ενδιαφέρον της μελέτης συνίσταται στην περιστροφή μιας φιάλης, μερικώς γεμάτης με νερό, που την προσγειώνουμε σε όρθια θέση. Είναι ένα εντυπωσιακό φαινόμενο, καθώς από την πρώτη ματιά φαίνεται μάλλον απίθανο ότι ένα ψηλό περιστρεφόμενο μπουκάλι θα μπορούσε να κάνει μια τέτοια σταθερή προσγείωση. Εδώ, αναλύουμε τη φυσική πίσω από την περιστροφή της φιάλης του νερού, με βάση πειράματα και ένα αναλυτικό μοντέλο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην τάξη. Οι μετρήσεις μας δείχνουν ότι η γωνιακή ταχύτητα της φιάλης μειώνεται δραστικά, επιτρέποντας μια σχεδόν κάθετη κάθοδο και μια επιτυχημένη προσγείωση. Η μειωμένη περιστροφή οφείλεται σε αύξηση της ροπής αδράνειας που προκαλείται από την αναδιανομή της μάζας του νερού κατά τη διάρκεια της πτήσης κατά μήκος της φιάλης. Τα πειραματικά και αναλυτικά αποτελέσματα συγκρίνονται ποσοτικά και δείχνουμε πώς μπορούμε να βελτιστοποιήσουμε τις πιθανότητες επιτυχούς προσγείωσης.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Τον Μάιο του 2016, ένας μαθητής λυκείου, ονόματι Michael Senatore, μπαίνει στην σκηνή με ένα μπουκάλι μερικώς γεμάτο με νερό. Συμμετέχει στο ετήσιο talent show του σχολείου και η αίθουσα εκδηλώσεων είναι γεμάτη (δες εδώ). Υπάρχει μουσική που παίζει στο παρασκήνιο καθώς πλησιάζει με έναν αστείο τρόπο στο κέντρο της σκηνής. Ξαφνικά, παίρνει σοβαρή στάση, στέκεται ακίνητος, επικεντρώνεται σε ένα τραπέζι που βρίσκεται μπροστά του και ρίχνει το μπουκάλι στον αέρα με ένα γύρισμα. Η φιάλη περιστράφηκε μία φορά και προσγειώθηκε στο τραπέζι τελείως όρθια. Αυτό ξεσήκωσε το κοινό και οι μαθητές άρχισαν να ζητωκραυγάζουν. Όλα κινηματογραφήθηκαν με μια κάμερα smartphone. Μέσα σε λίγες εβδομάδες, αυτό το κλιπ των 30 δευτερολέπτων έγινε viral στο διαδίκτυο και τα παιδιά σε όλο τον κόσμο άρχισαν να παίρνουν μέρος στην “πρόκληση του περιστρεφόμενου μπουκαλιού με νερό”, όπως έγινε τελικά γνωστό. Ο Michael Senatore κατέληξε να πουλήσει το φημισμένο μπουκάλι για $ 15 000 (ή τουλάχιστον ένα υπογεγραμμένο από αυτόν).

Η φυσική της περιστροφής συχνά περιλαμβάνει μάλλον απροσδόκητα φαινόμενα, όπως η περιστροφή των γάτων στην ελεύθερη πτώση ή οι Ολυμπιακοί δύτες, και η εντυπωσιακή αναστροφή της φιάλης με νερό δεν αποτελεί εξαίρεση. Ωστόσο, η περιστροφή αυτή προσφέρει μια πρωτότυπη και πολύ εμπεριστατωμένη απεικόνιση των θεμελιωδών αρχών της περιστροφικής μηχανικής. Στην Εικ. 1 (και στο συμπληρωματικό υλικό στο βίντεο), παρουσιάζουμε μια σειρά στιγμιότυπων μιας πετυχημένης ρίψης. Εκ πρώτης όψεως φαίνεται μάλλον απίθανο ότι ένα ψηλό περιστρεφόμενο μπουκάλι θα μπορούσε να προσγειωθεί σταθερά σε όρθια θέση. Τελικά όμως, μόλις αφεθεί, η γωνιακή ορμή της φιάλης ως προς το κέντρο μάζας πρέπει να διατηρηθεί. Προκειμένου για περιστροφή ενός άκαμπτου σώματος γύρω από έναν κύριο άξονα, η διατήρηση της γωνιακής ορμής συνεπάγεται περιστροφή με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, κάνοντας την ομαλή προσγείωση μάλλον απίθανη. Όμως, η εκτόξευση φιάλης με νερό οδηγεί σε ανακατανομή της μάζας κατά μήκος της φιάλης. Αυτή η αλλαγή στην κατανομή της μάζας είναι σαφώς ορατή στην άνω σειρά της Εικ. 1 (ενώ η φιάλη είναι στον αέρα) και αυξάνει τη ροπή αδράνειας. Η διατήρηση της γωνιακής ορμής επιφέρει στη συνέχεια μείωση της ταχύτητας περιστροφής-αφήνοντας την εντύπωση ότι η φιάλη για μια στιγμή αιωρείται οριζόντια στον αέρα. Όταν εκτελεστεί η κίνηση με επιτυχία, η περιστροφή τελειώνει με σχεδόν κατακόρυφη κάθοδο που ακολουθείται από ομαλή προσγείωση.

Εικ. 1. Σύνθετες φωτογραφίες ενός ιπτάμενου (επάνω) μπουκαλιού με νερό και ενός ιπτάμενου μπουκαλιού τένις (κάτω). Και στις δύο περιπτώσεις, η ανακατανομή της μάζας μέσα στη φιάλη οδηγεί σε αύξηση της ροπής αδράνειας – επιβραδύνοντας την ταχύτητα περιστροφής της και επιτρέποντας μια σχεδόν κάθετη κάθοδο.

Σε αυτό το άρθρο, παρουσιάζουμε πώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί μία περιστρεφόμενη φιάλη νερού στην τάξη. Στο Κεφ. ΙΙ, δείχνουμε πώς η περίπλοκη δυναμική της φιάλης μπορεί να απεικονιστεί σε πειράματα και πώς μπορεί να αναλυθεί διαχωρίζοντας την κίνηση σε μετάθεση του κέντρου μάζας και σε περιστροφή γύρω από το κέντρο μάζας. Δεδομένου ότι η φυσική του νερού που χτυπιέται είναι εξαιρετικά πολύπλοκη από μόνη της, παρουσιάζουμε μια εναλλακτική λύση που είναι πιο κατάλληλη για ανάλυση: Την “περιστρεφόμενη μποτίλια με μπάλες του τένις”, που παρουσιάζεται στην Εικ 1 (b) (και στο συμπληρωματικό υλικό του βίντεο). Σε αυτό το σύστημα, το νερό αντικαθίσταται από δύο μπάλες του τένις – πράγματι, η επιτυχημένη αυτή φιάλη δείχνει σαφώς ότι η ανακατανομή της μάζας είναι το φυσικό συστατικό πίσω από την περιστροφή. Στη συνέχεια, στο Κεφ. III, δείχνουμε πώς μπορεί να περιγραφεί η περιστροφή από ένα θεωρητικό μοντέλο, επιτρέποντας ακόμη και ποσοτική σύγκριση με πειράματα.

Με βάση τις παρατηρήσεις και τη μοντελοποίηση, κλείνουμε με την αντιμετώπιση ενός σημαντικού ερωτήματος που προκύπτει όταν επιχειρούμε μια “πρόκληση φιάλης με νερό” (Κεφάλαιο IV): Γιατί υπάρχει μια βέλτιστη ποσότητα νερού στη φιάλη για καλύτερη περιστροφή; Εκατομμύρια εκτελεστές του πετάγματος της μποτίλιας φαίνεται να διαφωνούν σχετικά με την ακριβή τιμή, αλλά συμφωνούν ότι το βέλτιστο κλάσμα πλήρωσης πρέπει να είναι μεταξύ 1/4 και 1/3 του συνολικού ύψους της φιάλης. Μπορούμε να εξηγήσουμε αυτές τις τιμές με αρχές της μηχανικής;

II. ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ

Ξεκινάμε περιγράφοντας πώς απεικονίζουμε δυναμικά την περιστροφή της φιάλης και πώς αναλύουμε την προκύπτουσα κίνηση. Το πείραμα έχει σχεδιαστεί με την κλασσική προσέγγιση της δυναμικής των εκτεταμένων σωμάτων: Η κίνηση αποσυντίθεται σε μετάθεση του κέντρου της μάζας και περιστροφή γύρω από το κέντρο της μάζας. Αυτή η αποσύνθεση είναι φυσική, καθώς η μόνη εξωτερική δύναμη είναι η βαρύτητα, η οποία δεν ασκεί ροπή γύρω από το κέντρο της μάζας. Ως εκ τούτου, το πέταγμα της φιάλης νερού χρησιμεύει ως πρωταρχικό παράδειγμα διατήρησης της γωνιακής ορμής.

Εκτός από τη φιάλη νερού και τη φιάλη τένις που φαίνεται στην Εικ. 1, θα εξετάσουμε επίσης μια “άκαμπτη φιάλη” που περιέχει μια ακινητοποιημένη μάζα. Η άκαμπτη φιάλη εξυπηρετεί δύο σκοπούς: να επαληθεύσουμε ότι ανακτάμε τη συνήθη περιστροφή του άκαμπτου σώματος και να τονίσουμε τη σημασία της κινητής μάζας για μια επιτυχημένη αναστροφή της φιάλης.

Α. Πειραματική εγκατάσταση και ανάλυση

Η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήθηκε σε αυτή τη μελέτη αποτελείται από ένα μαύρο φόντο, μια λάμπα φωτισμού και μια ψηφιακή φωτογραφική μηχανή a-6000. Κάθε πειραματική εκτέλεση (ή πέταγμα της μποτίλιας) διαρκεί περίπου 1 δευτερόλεπτο. Εδώ, καταγράψαμε τις ταινίες στα 50 καρέ ανά δευτερόλεπτο, χρόνο λήψης 1/1600 s και ανάλυση 2 megapixel. Η σύστασή μας είναι να χρησιμοποιηθούν τουλάχιστον 20 καρέ ανά δευτερόλεπτο για να συγκεντρωθούν αρκετά σημεία δεδομένων, με μέγιστο χρόνο λήψης 1/200 s για να αποφύγουμε θόλωση στη μετακινούμενη φιάλη και ελάχιστη ανάλυση 1 megapixel (στην εποχή μας οι περισσότερες κάμερες smartphone πληρούν αυτές τις απαιτήσεις). Συνήθως πραγματοποιούμε 10 επιτυχείς ανατροπές ανά τύπο φιάλης με τα ίδια γεμίσματα και επιλέγουμε τις πιο καθαρές προσγειώσεις ανάμεσά τους για ανάλυση.

Η περιστροφική κίνηση προσδιορίζεται ποσοτικά από τη γωνιακή ταχύτητα ω = dθ / dt. Αυτή η ποσότητα μπορεί να μετρηθεί εντοπίζοντας το πάνω και το κάτω μέρος της φιάλης στα βίντεο. Ένα άλλο βασικό στοιχείο της ανάλυσης είναι να προσδιοριστεί η κίνηση του κέντρου μάζας του συνολικού συστήματος. Για την άκαμπτη φιάλη, όλες τις φορές, το κέντρο της μάζας προφανώς παραμένει σε σταθερή θέση κατά μήκος της φιάλης. Ωστόσο, είναι μάλλον δύσκολο να προσδιοριστεί με ακρίβεια το κέντρο της μάζας του νερού, όταν αυτό χτυπιέται – από τις εικόνες, δεν μπορεί κανείς να συμπεράνει την ακριβή κατανομή του νερού μέσα στη φιάλη. Εδώ, προχωρούμε απλώς σε μια ανάλυση κατά προσέγγιση που περιγράφεται λεπτομερώς στο Κεφ. III Β, με βάση το μέγιστο ύψος της μάζας νερού κατά μήκος της φιάλης. Αυτή η πολυπλοκότητα της φιάλης νερού [Ει. 1 (α)] είναι το κύριο κίνητρό μας για την εισαγωγή της φιάλης τένις [Εικ. 1 (β)]. Δηλαδή, οι ακριβείς θέσεις των μπαλών του τένις προσδιορίζονται εύκολα. Στη συνέχεια, παίρνουμε το κέντρο μάζας λαμβάνοντας το σταθμισμένο κατά μάζα μέσο όρο των θέσεων των δύο σφαιρών και του κέντρου της φιάλης.

Συνοπτικά, οι πειραματικές μετρήσεις συνίστανται στην παρακολούθηση της κορυφής και του πυθμένα της φιάλης σε κάθε καρέ και στην παρακολούθηση των ακόλουθων επιπρόσθετων σημείων για τον προσδιορισμό του κέντρου μάζας: α) Φιάλη νερού: το μέγιστο ύψος h του νερού που αναταράσσεται σε κάθε καρέ (βλέπε Εικ. 2). (β) Μπουκάλι τένις: η θέση των μπαλών του τένις κατά κάθε καρέ κατά τη διάρκεια της αναστροφής. Οι ληφθήσες ψηφιακές εικόνες εισήχθησαν σε έναν υπολογιστή και η παρακολούθηση πραγματοποιήθηκε χειροκίνητα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ImageJ, χρησιμοποιώντας απλά το σημειακό εργαλείο με αυτόματη μέτρηση. Τα δεδομένα στη συνέχεια υποβλήθηκαν σε επεξεργασία χρησιμοποιώντας το MATLAB. Όλα τα σύνολα δεδομένων που λήφθηκαν με το χέρι εξομαλύνθηκαν για να μειωθεί η η μεροληψία και ο θόρυβος που προκαλείται από τον χρήστη.

Εικ. 2. Σχέδιο των γεωμετρικών παραμέτρων για τη φιάλη νερού και φιάλι τένις. Το συνολικό ύψος της φιάλης είναι H, ενώ η κατανομή του νερού/μπαλών συμβολίζεται με h. Φαίνεται επίσης ο άξονας περιστροφής.

Τα πειράματα που παρουσιάζονται παρακάτω πραγματοποιήθηκαν με μπουκάλι νερού μάζας m_b = 25 g και ύψους Η = 23 cm. Το χρησιμοποιούμενο κλάσμα πλήρωσης ήταν 0,39. Για τα πειράματα με φιάλες του τένις, μια μπάλα τένις έχει μάζα 58 g. το μπουκάλι του τένις έχει μάζα 48 g, ύψος 28 cm και ακτίνα 3,7 cm.

Β. Αποτελέσματα

Η Εικ. 3 δείχνει τις τυπικές τροχιές που λαμβάνονται από τα πειράματά μας στην άκαμπτη φιάλη (a), τη φιάλη νερού (b) και τη φιάλη τένις (c). Οι διάφορες καμπύλες, αντίστοιχα, εντοπίζουν τις άκρες της φιάλης (γκρίζες γραμμές) και το κέντρο της μάζας (μπλε γραμμές). Σε όλες τις περιπτώσεις, το κέντρο μάζας ακολουθεί την αναμενόμενη παραβολική τροχιά που σχετίζεται με την κίνηση της ελεύθερης πτώσης. Η παραβολή είναι καταφανώς παραδεκτή για το άκαμπτο μπουκάλι και το μπουκάλι τένις [Εικ. 3 (a) και 3 (c)]. Σε αυτά τα πειράματα, το κέντρο της μάζας πράγματι προσδιορίστηκε με ακρίβεια, ενώ αυτή η μέτρηση ήταν περισσότερο κατά προσέγγιση για την περίπτωση του κινούμενου νερού [Εικ. 3 (b)].

Εικ. 3. Ανάλυση της κίνησης κατά τη διάρκεια της αναστροφής για (a) μπουκάλι με ακινητοποιημένη μάζα, (b) φιάλη νερού και (c) μπουκάλι τένις. Σε όλα τα πλαίσια, οι γκρι διακεκομμένες γραμμές αντιπροσωπεύουν τις σύνθετες τροχιές του άνω και του κάτω μέρους της φιάλης. Οι συνεχόμενες μπλε γραμμές περιγράφουν την κίνηση του κέντρου μάζας, το οποίο σε μια καλή προσέγγιση βρίσκεται να ακολουθεί μια παραβολική τροχιά. Στα πειράματα που δείχνονται, H = 23 cm για τα άκαμπτα και τα μπουκάλια νερού και 28 cm για το μπουκάλι του τένις.

Το κύριο ενδιαφέρον μας, ωστόσο, έγκειται στις περιστροφικές πτυχές της κίνησης. Είναι φανερό από την Εικ. 3 ότι η περιστροφή της άκαμπτης φιάλης είναι πολύ διαφορετική τόσο από τη φιάλη νερού όσο και από τη φιάλη τένις. Αυτό ποσοτικοποιείται περαιτέρω λαμβάνοντας υπόψη την γωνιακή ταχύτητα ω = dθ/dt, όπου η γωνία θ(t) περιγράφει τον προσανατολισμό της φιάλης με την πάροδο του χρόνου. Τα ακατέργαστα δεδομένα του Δθ(t) = θ(t) – θ(t = 0) φαίνονται στο παρένθεμα της Εικ. 4. Μετά την εξομάλυνση, διαφορίζουμε το Δθ(t) και λαμβάνουμε το ω(t). Στην Εικ. 4, σχεδιάζουμε το ω (κανονικοποιημένο από την αρχική τιμή ω₀) σε συνάρτηση με το χρόνο (κανονικοποιημένο από τον χρόνο προσγείωσης t_f). Όπως αναμενόταν, η γωνιακή ταχύτητα είναι απόλυτα σταθερή για το άκαμπτο μπουκάλι (την οριζόντια σειρά γεμάτων κύκλων, χρώματος κόκκινου). Αντίθετα, το ω φαίνεται να μειώνεται δραματικά τόσο για το μπουκάλι νερού (καμπύλη πυθμένα γεμάτων κύκλων, μπλε) όσο και για το μπουκάλι τένις (η μεσαία καμπύλη γεμάτων κύκλων, κίτρινο). Αυτά τα αποτελέσματα αποκαλύπτουν ότι μπορεί να επιτευχθεί μια ήπια προσγείωση λόγω της σημαντικής μείωσης της γωνιακής ταχύτητας ω της φιάλης. Οι διακεκομμένες γραμμές στην Εικ. 4 αντιστοιχούν στο μοντέλο που αναπτύχθηκε στο Κεφ. III.

Εικ. 4. Η γωνιακή ταχύτητα ω ως συνάρτηση του χρόνου t, αντίστοιχα κανονικοποιημένα από την αρχική γωνιακή ταχύτητα ω₀ και τον τελικό χρόνο t_f. Τα σύνολα δεδομένων αντιστοιχούν στη φιάλη με ακινητοποιημένη μάζα (κόκκινα τετράγωνα), το μπουκάλι νερό (μπλε κύκλοι) και το μπουκάλι τένις (κίτρινοι ρόμβοι). Οι διακεκομμένες γραμμές αντιστοιχούν στο μοντέλο που περιγράφεται στο Κεφ. III. Παρένθεμα: η γωνία Δθ =θ (t) – θ (0) έναντι του t, από την οποία προέκυψε το κύριο σχήμα.

Γ. Ερμηνεία

Το μυστικό πίσω από ένα επιτυχημένο πέταγμα μια μποτίλιας με νερό – η μειωμένη γωνιακή ταχύτητα – μπορεί να γίνει κατανοητό από τη διατήρηση της γωνιακής ορμής. Στο συνδυασμένο σύστημα της φιάλης και του νερού ασκείται μόνο η βαρύτητα και επομένως δεν βιώνει καμία προκύπτουσα ροπή γύρω από το κέντρο της μάζας. Συνεπώς, η συνολική γωνιακή ορμή L γύρω από το κέντρο μάζας πρέπει να διατηρηθεί: L = Iω είναι σταθερή, όπου I είναι η ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της μάζας. Η ροπή αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος είναι σταθερή με την πάροδο του χρόνου, έτσι ώστε το ω πρέπει να παραμείνει σταθερό – σε απόλυτη συμφωνία με το πείραμά μας (Εικ. 4, κόκκινα σημάδια). Ωστόσο, η κινητικότητα του υγρού προκαλεί μια ανακατανομή της μάζας μέσα στη φιάλη κατά τη διάρκεια της αναστροφής, πράγμα που σημαίνει ότι η ροπή αδράνειας Ι δεν είναι πλέον σταθερή. Αυτή η αλλαγή στο I εξηγεί τη μείωση της γωνιακής ταχύτητας που παρατηρείται στην Εικ. 4: Καθώς η υγρή μάζα εξαπλώνεται, η συνολική ροπή αδράνειας I γύρω από το κέντρο της μάζας θα αυξηθεί, συνοδευόμενη από μείωση του ω για να διατηρηθεί η ίδια τιμή L = Iω. Το ίδιο επιχείρημα ισχύει και για τις μπάλες του τένις που “εξαπλώνονται” κατά τη διάρκεια του πετάγματος, για τις οποίες πράγματι παρατηρούμε επίσης μια μείωση στο ω.

III. ΜΟΝΤΕΛΟ

Παρουσιάζουμε τώρα μια ποσοτική περιγραφή των πειραμάτων, διαμορφώνοντας ένα μοντέλο με ανακατανομή της μάζας. Συζητάμε πρώτα τη φιάλη του τένις και στη συνέχεια προτείνουμε ένα (πολύ απλουστευμένο) μονοδιάστατο μοντέλο για την επίδραση του κινούμενου νερού στο εσωτερικό της φιάλης. Και στις δύο περιπτώσεις, παρέχουμε μια ποσοτική σύγκριση σε πειράματα. Τέλος, το μοντέλο χρησιμοποιείται για να αντιμετωπίσει το ζήτημα του τι καθορίζει τον βέλτιστο παράγοντα πλήρωσης για ένα επιτυχημένο πέταγμα φιάλης νερού.

Α. Το πέταγμα της φιάλης του τένις

1. Κέντρο μάζας

Ξεκινάμε εξάγοντας τον τύπο του κέντρου μάζας, ο οποίος χρησιμοποιήθηκε ήδη για την ανάλυση του πειράματος. Η γεωμετρία του μπουκαλιού του τένις σκιαγραφείται στην Εικ. 2.
Η φιάλη είναι ουσιαστικά ένας κοίλος κύλινδρος ακτίνας R, ύψους Η και μάζας m_b. Υποθέτοντας ότι ο κύλινδρος είναι συμμετρικός από πάνω ως κάτω, το κέντρο της μάζας του βρίσκεται σε θέση H / 2. Οι μπάλες του τένις παρουσιάζονται ως κοίλες σφαίρες ακτίνας R και μάζα m_t. Η κατώτερη σφαίρα παραμένει στον πυθμένα του κυλίνδρου ενώ η κορυφή της άνω σφαίρας βρίσκεται σε θέση h που μπορεί να αλλάξει κατά τη διάρκεια του πειράματος. Έτσι, το κέντρο της μάζας των δύο σφαιρών βρίσκεται στο h / 2.
Το συνολικό κέντρο μάζας της συνδυασμένου συστήματος φιάλης και μπαλών λαμβάνεται με σταθμισμένο μέσο όρο των αντίστοιχων κέντρων μάζας. Επομένως, κάποιος επαληθεύει ότι η θέση του συνδυασμένου κέντρου μάζας h_CM βρίσκεται στο

(1) $\begin{equation*} h_{CM}=\frac{m_b \frac{H}{2}+2m_t \frac{h}{2}}{m_b+2m_t}=\frac{H}{2} \left ( \frac{m_b+2m_t \frac{h}{H}}{m_b+2m_t} \right ) \end{equation*}$

Σαφώς, το h_CM μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια του πειράματος, καθώς είναι συνάρτηση της θέσης του h της δεύτερης μπάλας.

2. Ροπή αδράνειας

Το επόμενο βήμα είναι να προσδιοριστεί η ροπή αδράνειας Ι του συνδυασμένου συστήματος. Δεδομένου ότι η γωνιακή ορμή διατηρείται μόνο γύρω από το κέντρο της μάζας, πρέπει επίσης να προσδιορίσουμε το I ως προς άξονα μέσω του κέντρου μάζας.

Ας εξετάσουμε πρώτα το μπουκάλι. Υποθέτουμε ότι η μάζα του μπουκαλιού είναι τέλεια εντοπισμένη σε ένα πολύ λεπτό τοίχωμα στο εξωτερικό του κυλίνδρου (εξ ου και αγνοούμε τη μάζα στο πάνω και στο κάτω μέρος του κυλίνδρου). Με αυτό, μπορούμε να καθορίσουμε τη ροπή αδράνειας σε δύο βήματα. Πρώτον, θεωρούμε τη ροπή αδράνειας της φιάλης σε σχέση με το κέντρο μάζας της που βρίσκεται στο H / 2, ως προς τον άξονα που υποδεικνύεται στην Εικ. 2. Αυτός ο άξονας είναι κάθετος στον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου και η αντίστοιχη ροπή αδράνειας είναι:

(2) $\begin{equation*} I'_b=\frac{m_b}{12} (6R^2+H^2) \end{equation*}$

Ωστόσο, η περιστροφή λαμβάνει χώρα γύρω από το κέντρο μάζας h_CM του συνολικού συστήματος, που ορίζεται από την εξίσωση (1). Ως εκ τούτου, ο άξονας περιστροφής στο πείραμα είναι παράλληλος προς τον άξονα που χρησιμοποιείται για την εξίσωση (2), αλλά μετατοπίζεται από μια απόσταση (H / 2) -h_CM. Στη συνέχεια λαμβάνεται η σχετική ροπή αδράνειας χρησιμοποιώντας το θεώρημα του παράλληλου άξονα. Αυτό δίνει:

(3) $\begin{equation*} \begin{split} I_b=& I'_b+m_b (\frac{H}{2}-h_{CM})^2 \\ =& \frac{m_b}{12} (6R^2+H^2)+m_b (\frac{H}{2}-h_{CM})^2 \end{split} \end{equation*}$

Με παρόμοιο τρόπο, αποκτά κανείς τη ροπή αδράνειας των δύο μπαλών του τένις. Θεωρώντας τις σφαίρες ως κοίλες σφαίρες με λεπτά τοιχώματα, παίρνουμε:

(4) $\begin{equation*} I_1=\frac{2}{3}m_tR^2+m_t(R-h_{CM})^2, \end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} I_2=\frac{2}{3}m_tR^2+m_t(h-R-h_{CM})^2 \end{equation*}$

Οι πρώτοι όροι στη δεξιά πλευρά είναι η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς το κέντρο μάζας, ενώ οι δεύτεροι όροι αφορούν στην παράλληλη μετατόπιση προς το h_CM του συνολικού συστήματος.

Τέλος, η συνολική ροπή αδράνειας κατά τη διάρκεια τoυ πετάγματος της φιάλης του τένις γράφεται:

(6) $\begin{equation*} I(h)=I_b+I_1+I_2 \end{equation*}$

Κάθε ένας από αυτούς τους όρους είναι συνάρτηση του h, λόγω της εξάρτησης του h_CM από τη θέση h της δεύτερης μπάλας.

3. Σύγκριση με πειράματα

Για να συγκρίνουμε το μοντέλο με τα πειράματα, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι η γωνιακή ορμή ως προς το κέντρο μάζας, L = Iω, πρέπει να διατηρηθεί κατά τη διάρκεια της αναστροφής. Σύμφωνα με αυτό, αμέσως συμπεραίνουμε ότι η αδιάστατη γωνιακή συχνότητα ω (t) / ω₀ μπορεί να εκφραστεί ως:

(7) $\begin{equation*} \frac{\omega (t)}{\omega_0}=\frac{I_0}{I(h)} \end{equation*}$

με το I (h) που δίνεται από την εξίσωση (6). Εδώ παρουσιάσαμε την αρχική ροπή αδράνειας I₀ = I (h₀), η οποία αντιστοιχεί στην κατάσταση πριν από την αναστροφή όταν οι δύο μπάλες του τένις βρίσκονται στο κάτω μέρος του δοχείου. Παρατηρώντας την Εικ. 2, βρίσκουμε h₀ = 4R.

Παρουσιάζουμε τώρα δύο δοκιμές των προβλέψεών μας. Πρώτον, εισάγουμε την πειραματικά ληφθείσα h(t) στην Εξ. (6) και χρησιμοποιούμε την εξίσωση (7) για την πρόβλεψη της γωνιακής ταχύτητας ω(t). Το αποτέλεσμα εμφανίζεται ως η κίτρινη (έγχρωμη) διακεκομμένη γραμμή στην Εικ. 4. Είναι σαφές ότι δίνει μια πολύ καλή περιγραφή των πειραματικών δεδομένων.

Ωστόσο, μια ακόμη πιο άμεση επαλήθευση των Εξισ. (6) και (7) λαμβάνεται με σχεδίαση του πειραματικού ω σε συνάρτηση με το πειραματικό h. Στην περίπτωση αυτή, η σύγκριση μεταξύ θεωρίας και πειράματος είναι χωρίς καμία εισροή από το πείραμα. Το αποτέλεσμα, που παρουσιάζεται στην Εικ. 5, δείχνει μια εξαιρετική συμφωνία χωρίς ρυθμιζόμενες παραμέτρους.

Εικ. 5. Πειραματικά αποτελέσματα για τη γωνιακή ταχύτητα ω της φιάλης τέννις (άνω μέρος) και της φιάλης νερού (κάτω μέρος). Τα αποτελέσματα των μοντέλων εμφανίζονται σε συνεχείς (κόκκινες) γραμμές.

Β. Το πέταγμα της φιάλης νερού: Ένα ελάχιστο μονοδιάστατο μοντέλο

Τώρα επιστρέφουμε στην περίπτωση της φιάλης νερού, για την οποία η κατανομή της μάζας είναι προφανώς πολύ πιο περίπλοκη. Ο σκοπός μας εδώ δεν είναι να παράσχουμε μια πλήρως ποσοτική περιγραφή της μάζας του υγρού που ταράζεται μέσα στη φιάλη, η οποία θα απαιτούσε λεπτομερή αριθμητική επεξεργασία των εξισώσεων Navier-Stokes. Αντ ‘αυτού, θέλουμε να προτείνουμε ένα ελάχιστο μοντέλο που να επιτρέπει μια εύπεπτη περιγραφή της κίνησης της φιάλης νερού. Γι ‘αυτό, προτείνουμε ένα απλοποιημένο μονοδιάστατο μοντέλο. Υποθέτουμε ότι η μάζα νερού m_w κατανέμεται πάντοτε ομοιόμορφα κατά μήκος της φιάλης, ξεκινώντας από το κάτω μέρος και φθάνοντας μέχρι ένα ύψος h (βλέπε Εικ. 2). Αυτό το ύψος h θα μεταβάλλεται με το χρόνο καθώς η φιάλη περιστρέφεται στον αέρα. Και πάλι, ορίζουμε την ελάχιστη τιμή του ύψους ως h₀, η οποία αντιστοιχεί στην κατάσταση πριν από την αναστροφή όπου όλη η μάζα είναι συγκεξτρωμένη στο κάτω μέρος. Η μέγιστη δυνατή τιμή του h δίνεται από το ύψος της φιάλης Η. Για λόγους απλότητας, θεωρούμε επιπλέον ότι η μάζα πρόκειται να κατανεμηθεί κατά μήκος του άξονα της φιάλης.

1. Κέντρο μάζας

Για άλλη μια φορά, προσδιορίζουμε πρώτα το κέντρο μάζας του συνδυασμένου συστήματος της φιάλης (μάζα m_b) και του νερού (μάζα m_w). Το κέντρο της μάζας μπορεί να βρεθεί λαμβάνοντας τον σταθμισμένο μέσο όρο του κέντρου μάζας της φιάλης, που βρίσκεται στο H / 2, και του κατανεμημένου νερού, που βρίσκεται στο h / 2. Με αυτό, η θέση του κέντρου μάζας μπορεί να βρεθεί ως:

(8) $\begin{equation*} h_{CM}=\frac{\frac{H}{2}m_b+\frac{h}{2}m_w}{m_b+m_w}=\frac{H}{2} \left ( \frac{m_b+m_w \frac{h}{H}}{m_b+m_w} \right ) \end{equation*}$

Αυτή η έκφραση έχει χρησιμοποιηθεί στα πειράματα της φιάλης νερού για τη λήψη της θέσης του κέντρου μάζας (CM) (βλ. Εικ. 3).

2. Ροπή αδράνειας

Το επόμενο βήμα είναι να προσδιοριστεί η ροπή αδράνειας, Ι, του συστήματος, μετρούμενη σε συνάρτηση με τη θέση του κέντρου μάζας h_CM. Σε αναλογία με τη φιάλη του τένις, προσδιορίζουμε ξεχωριστά τις ροπές αδράνειας I_b της φιάλης και I_w του νερού , η οποία οδηγεί στη συνολική ροπή αδράνειας I = I_b + I_w. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του παράλληλου άξονα, βρίσκουμε ότι η ροπή αδράνειας της φιάλης είναι:

(9) $\begin{equation*} h_b=I_0+m_b \left ( \frac{H}{2}- h_{CM} \right )^2 \end{equation*}$

Όπου, I₀ είναι η ροπή αδράνειας της φιάλης ως προς έναν άξονα που διέρχεται από το δικό της κέντρο μάζας (που βρίσκεται περίπου στο H / 2), ενώ ο δεύτερος όρος αντιστοιχεί στη μετατόπιση στο κέντρο μάζας του συστήματος στην θέση h_CM. Δεδομένου ότι θεωρούμε μια απλοποιημένη μονοδιάστατη περιγραφή, θα χρησιμοποιήσουμε στο εξής $I_0 = (1/12) m_bH^2$ . Αυτή είναι η έκφραση που ισχύει για τα λεπτά αντικείμενα, όπου όλη η μάζα βρίσκεται κατά μήκος του άξονα, και επίσης ανακτάται από την εξίσωση (2) αν R = 0. Η εξίσωση (2) στην πραγματικότητα επιτρέπει την εκτίμηση της διόρθωσης του σφάλματος που προκαλείται από το γεγονός ότι η μάζα νερού δεν βρίσκεται στον άξονα, ενώ το σχετικό σφάλμα είναι $6R^2 / H^2$ , το οποίο δίνει σφάλμα περίπου 12% για τη φιάλη νερού που χρησιμοποιήθηκε στη μελέτη μας (R / H ≈1 / 7). Με παρόμοιο τρόπο, μπορούμε να εκφράσουμε τη ροπή αδράνειας της μονοδιάστατης στήλης νερού ως:

(10) $\begin{equation*} h_w=\frac{1}{12}m_wh^2+M \left ( \frac{h}{2}-h_{CM} \right )^2 \end{equation*}$

Η συνολκή ροπή αδράνειας τότε γίνεται:

(11) $\begin{equation*} \begin{split} I=I_b+I_w=&\frac{1}{12}(m_bH^2+m_wh^2)+m_b \left (\frac{H}{2}-h_{CM} \right)^2+m_w \left (\frac{h}{2}-h_{CM} \right )^2 \\ & +m_w \left ( \frac{h}{2}-h_{CM} \right )^2 \end{split} \end{equation*}$

όπου, προφανώς το h_CM δίνεται από την εξίσωση (8).

3. Σύγκριση στα πειράματα

Τώρα κάνουμε την ίδια σύγκριση στα πειράματα, όπως κάναμε με την μποτίλια του τένις. Αυτή επίσης βασίζεται στη σχέση:

(12) $\begin{equation*} \frac{\omega (t)}{\omega_0}=\frac{I_0}{I(h)}, \end{equation*}$

αλλά τώρα με το I(h) να βασίζεται στην εξίσωση (11).

Η πρώτη σύγκριση παρουσιάζεται με τη μπλε διακεκομμένη γραμμή στην Εικ. 4, όπου χρησιμοποιήσαμε το h (t) που μετρήθηκε στο πείραμα. Τα ίδια δεδομένα φαίνονται στην Εικ. 5, όπου σχεδιάζεταιι το ω σε σχέση με το h. Χωρίς οποιεσδήποτε ρυθμιζόμενες παραμέτρους, το μοντέλο δίνει μια λογική εικόνα της μείωσης του ω κατά τη διάρκεια της περιστροφής της φιάλης νερού, ειδικά δεδομένης της υπεραπλούστευσης του κινούνενου νερού σε αυτήν την μονοδιάστατη περιγραφή. Ορισμένα από τα χαρακτηριστικά, όπως η εμφάνιση ενός σημείου καμπής κατά το ήμισυ της διαδρομής, δεν καταγράφονται, γεγονός που μπορεί να οφείλεται στο γεγονός ότι η μάζα δεν παραμένει κατανεμημένη κατά μήκος του κεντρικού άξονα της φιάλης.

IV. ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΠΡΟΒΛΕΨΟΥΜΕ ΤΟ ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΚΛΑΣΜΑ ΠΛΗΡΩΣΗΣ;

Ενθαρρυμένοι από αυτές τις παρατηρήσεις, τώρα ας στραφούμε στο ερώτημα ποιο είναι το βέλτιστο κλάσμα πλήρωσης, $f = h_0 / H$ , για να ολοκληρώσουμε με επιτυχία ένα πέταγμα της φιάλης νερού. Είναι προφανές ότι πρέπει να υπάρχει αυτό το βέλτιστο κλάσμα. Δηλαδή, τόσο η κενή φιάλη (f = 0) όσο και η γεμάτη φιάλη (f = 1) δεν μπορούν να ικανοποιήσουν οποιαδήποτε ανακατανομή μάζας και επομένως δεν θα παρουσιάσουν επιβράδυνση ω. Σύμφωνα με το μοντέλο, ποιο θα ήταν το βέλτιστο f;

Α. Μείωση της γωνιακής ταχύτητας

Επειδή για ένα δεδομένο ω₀ κάποιος επιθυμεί να μειώσει ω όσο το δυνατόν περισσότερο, θα ψάξουμε για το ελάχιστο του λόγου $I_0 / I (h)$ . Για κάθε κλάσμα πλήρωσης, επιτυγχάνεται η μέγιστη ροπή αδράνειας I_max όταν το νερό είναι κατανεμημένο κατά το μέγιστο, δηλ. Για το h = H. Συνεπώς, πρέπει να βρούμε την τιμή f για την οποία το $I_0 / I_{max}$ επιτυγχάνει ένα ελάχιστο. Αν και η έκφραση στην εξ. (11) φαίνεται μάλλον δυσκίνητη, είναι δυνατόν να βρεθεί μία αναλυτική μορφή για τη συνάρτηση $G (f) \equiv I_0 / I_{max}$ . Γι ‘αυτό, καθορίζουμε πρώτα την αναλογία μάζας

(13) $\begin{equation*} M=\frac{m_{w,max}}{m_b}, \end{equation*}$

όπου, $m_{w,max}$ είναι η μάζα του νερού που γεμίζει τη φιάλη. Με αυτή μπορούμε να εκφράσουμε $m_w=fm_{w,max}=fMm_b$ και να το θέσουμε στην εξ. (11) και (8). Με τη βοήθεια των προγραμμάτων Maple ή Mathematica, οι προκύπτουσες εκφράσεις οδηγούνται στις σχέσεις:

(14) $\begin{equation*} G \left (f \right )=\frac{I_0}{I_{max}}=\frac{M^2f^4+4Mf^3-6Mf^2+4Mf+1}{(1+Mf)^2} \end{equation*}$

Αυτή η σχέση απεικονίζεται στην Εικ. 6 με την καμπύλη προς τα δεξιά (η μπλε) για Μ = 20. Τυπικά, οι φιάλες νερού που μπορούν να περιέχουν 0,5l νερού έχουν μάζα περίπου 25g. Αυτό σημαίνει M = 500/25 = 20, για το οποίο το G (f) παρουσιάζει ένα ελάχιστο στο f ≈ 0,41. Η αντίστοιχη μείωση είναι $\omega_{min} /\omega_0 \approx 0,36$ , η οποία παρατηρούμε ότι συμφωνεί στενά με τη μείωση που επιτυγχάνεται πειραματικά στην Εικ 4 (στα πειράματά μας f = 0,39).

Εικ. 6. Δίδονται δύο κριτήρια για το βέλτιστο πέταγμα. Στον αριστερό άξονα y, το G (f) απεικονίζεται ως διακεκομμένη γραμμή. Η ελάχιστη τιμή του (δηλαδή η μέγιστη ροπή αδράνειας αυξάνεται σε I / I₀) μας δίνει το πρώτο κριτήριο για ένα βέλτιστο κλάσμα f πλήρωσης της φιάλης. Στον δεξιό άξονα y, η χαμηλότερη επιτεύξιμη θέση του κέντρου μάζας h_cm / H, είναι σχεδιασμένη ως συνεχής γραμμή, μας δίνει ένα άλλο κριτήριο για ένα βέλτιστο πέταγμα. Η γραφική παράσταση δείχνει την αναλογία μάζας νερού / μάζα φιάλης, M = m_{water max} / m_bottle = 20.

Β. Χαμηλώνοντας το κέντρο μάζας

Μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι η βελτιστοποίηση αφορά σε κάτι περισσότερο από τη μείωση του ω. Εξάλλου, η δυναμική της προσγείωσης έχει επίσης καίρια σημασία. Σαφώς, η σταθερότητα της προσγείωσης θα ωφεληθεί από το να είναι το κέντρο της μάζας όσο το δυνατόν χαμηλότερα. Μια άλλη σχετική ελαχιστοποίηση θα ήταν συνεπώς του h_CM υπολογισμένου για h = h₀. Και πάλι, με την αναλογία μάζας Μ, η έκφραση στην Εξ. (8) μπορεί να γραφτεί ως

(15) $\begin{equation*} \frac{h_{CM}}{H}=\frac{1}{2} \left ( \frac{1+Mf^2}{1+Mf} \right ) \end{equation*}$

Αυτό το αποτέλεσμα φαίνεται στην Εικ. 6 (κόκκινη καμπύλη), πάλι για Μ=20. Τώρα η ελαχιστοποίηση, ως συνάρτηση του f, μπορεί να πραγματοποιηθεί αναλυτικά και να δώσει:

(16) $\begin{equation*} f=\frac{\sqrt{1+M}-1}{M} \end{equation*}$

Για M = 20, αυτό δίνει f = 0,18.
Με αυτά τα δύο κριτήρια που έχουν χαμηλή γωνιακή ταχύτητα και χαμηλό κέντρο μάζας, το ακατέργαστο μοντέλο μας παρέχει μια πρόβλεψη για το βέλτιστο εύρος. Αυτό φαίνεται ως η γκρίζα ζώνη στην Εικ. 6. Το σχήμα δείχνει ότι τα καλά κλάσματα πλήρωσης βρίσκονται στην περιοχή περίπου 20% -40%. Αυτό συμβαδίζει με τις αναφορές που βρέθηκαν στο Διαδίκτυο, οι οποίες συνήθως αναφέρονται στο 1 / 4-1 / 3.

V. ΣΥΖΗΤΗΣΗ

Για να συνοψίσουμε, παρουσιάσαμε τη φυσική του πετάγματος της φιάλης νερού ως μια σύγχρονη απεικόνιση των αρχών της περιστροφικής μηχανικής. Επιτρέπει μια ποικιλία πειραματικών και θεωρητικών εξερευνήσεων που είναι κατάλληλες για προπτυχιακά μαθήματα φυσικής. Στην πραγματικότητα, η έρευνα που παρουσιάστηκε εδώ ξεκίνησε και εκτελέστηκε σε μεγάλο βαθμό από τους πέντε προπτυχιακούς φοιτητές που εμφανίζονται ως οι πρώτοι συγγραφείς αυτής της εργασίας. Πιθανές επεκτάσεις του έργου αυτού είναι η διερεύνηση του ρόλου της οριζόντιας ορμής για μια επιτυχημένη προσγείωση ή η ανάλυση της ίδιας της προσγείωσης.

Εκτός από το εγγενές ενδιαφέρον της, η αρχή της ανακατανομής των μαζών βρίσκει εφαρμογές σε διάφορα πεδία. Για παράδειγμα, οι Ολυμπιακοί δύτες επεκτείνουν τα χέρια και τα πόδια τους όσο το δυνατόν περισσότερο για να μειώσουν την ταχύτητα περιστροφής τους και να βουτήξουν στο νερό σε όρθια θέση. Παρόμοιες στρατηγικές χρησιμοποιούνται σε κοκκώδεις αποσβεστήρες, στους οποίους στερεά σωματίδια μέσα σε ένα τρεμάμενο αντικείμενο χρησιμοποιούνται για την απόσβεση των ανεπιθύμητων ταλαντώσεων και τη σταθεροποίηση του αντικειμένου. Αυτά τα παραδείγματα δίνουν μια ευρύτερη προοπτική στη φυσική πίσω από το πέταγμα της φιάλης νερού.

topio@viewonphysics.gr