Η Δυναμική, η Μηχανική Ενέργεια και η Διατήρησή της

Στις ασκήσεις που ακολουθούν να παίρνεις g=10m/s².

Αφήνουμε από ορισμένο ύψος να πέσει στην επιφάνεια ενός τραπεζιού ένα μικρό αντικείμενο μάζας m.
1. Λαμβάνοντας υπόψη ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας την επιφάνεια του τραπεζιού, υπολόγισε τη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας από το σημείο Α μέχρι το σημείο Β.
2. Έστω h το ύψος του τραπεζιού από το δάπεδο. Κάνε τον ίδιο υπολογισμό του a ερωτήματος, λαμβάνοντας τώρα ως επίπεδο αναφοράς το δάπεδο.
3. Από τα αποτελέσματα των δύο ανωτέρω ερωτημάτων, τι συμπεραίνεις για το επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας;
Άσκηση 1
Γράψε τη δυναμική ενέργεια ενός σώματος μάζας m, που το αφήνουμε να πέσει από ύψος H, σε συνάρτηση:
1. Με το διάστημα y που διανύει κατά την πτώση του.
2. Με το χρόνο t της κίνησής του.
3. Να σχεδιάσεις τα διαγράμματα U-y και U-t
Δίνεται η εξίσωση (στο S.I), όπου y είναι το διάστημα που διανύει κατά την πτώση του ένα σώμα.
1. Υπολόγισε από ποιο ύψος το αφήσαμε να πέσει.
2. Ποια είναι η εξίσωση U(t) για την ίδια πτώση του σώματος, όπου t ο χρόνος της κίνησής του;
3. Υπολόγισε από την εξίσωση του b ερωτήματος το συνολικό χρόνο της πτώσης.
Η χρονική εξίσωση της δυναμικής ενέργειας ενός σώματος που πέφτει από ορισμένο ύψοςείναι .
1. Σε πόσο χρόνο πέφτει το σώμα στο έδαφος;
2. Από πόσο ύψος πέφτει το σώμα;
3. Πόση είναι η δυναμική του ενέργεια τη χρονική στιγμή 2s και σε πόσο ύψος βρίσκεται τότε το σώμα;
Η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας U ενός σώματος που πέφτει σε συνάρτηση με το διάστημα y που διανύει κατά την πτώση του, φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. Υπολόγισε:
1. Από ποιο ύψος, Η, πέφτει το σώμα.
2. Ποια είναι η μάζα m του σώματος.
Άσκηση 5
Από το διάγραμμα Ενέργειας (Κ,U,E_M) – ύψους, για ένα σώμα μάζας 10kg, που ανεβαίνει κατακόρυφα προς τα πάνω, υπολόγισε:
1. Το μέγιστο ύψος που φτάνει το σώμα.
2. Την ταχύτητα που εκτοξεύτηκε του σώμα.
3. Ποια η σχέση κινητικής (K) και δυναμικής (U) ενέργειας, όταν το σώμα βρίσκεται στο ύψος των 10m, 20m και 25m;
Άσκηση 6
Στο διάγραμμα φαίνεται η κινητική ενέργεια Κ και η δυναμική ενέργειας U ενός σώματος σε συνάρτηση με το ύψος.
1. Περίγραψε τον τρόπο που κινείται το σώμα.
2. Ισχύει η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας;
3. Σχεδίασε πάνω στο ίδιο διάγραμμα την καμπύλη της μηχανικής ενέργειας του σώματος.
‘Ασκηση 7
Μία μπάλα μάζας 1,5kg πέφτει από ύψος 3m πάνω από το έδαφος και αναπηδά. Αν κατά την κρούση της μπάλας με το έδαφος παράγεται θερμότητα 12J, μέχρι ποιο ύψος αναπηδά η μπάλα;
Από ύψος Η=4m τη χρονική στιγμή t₀=0s αφήνουμε να πέσει ένα μικρό και συμπαγές σώμα μάζας 3kg. Από τη χρονική στιγμή t₁=0,3s έως τη χρονική στιγμή t₂=0,5s υπολόγισε:
1. Τη μεταβολή ΔU της δυναμικής ενέργειας του σώματος.
2. Το έργο του βάρους.
3. Τη μεταβολή ΔΚ της κινητικής ενέργειας του σώματος.
Αθλητής των αναρριχήσεων ανεβαίνει 60m και φτάνει στην κορυφή ενός λόφου και μετά κατεβαίνει 80m κάτω. Κατασκεύασε ένα ραβδόγραμμα για τη δυναμική του ενέργεια, παίρνοντας ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας την κορυφή του λόφου. Η μάζα του αναρριχητή μαζί με τον εξοπλισμό του είναι 80kg.
Μικρό και συμπαγές σώμα το αφήνουμε να πέσει ελεύθερα από ύψος Η=8m. Σε ποιο ύψος θα έχει χάσει το 30% της δυναμικής τους ενέργειας; Πόση θα είναι τότε η ταχύτητά του;
Το σώμα της προηγούμενης άσκησης το εκτοξεύουμε τώρα κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα $v_0=30m/s$ . Πόση θα είναι η ταχύτητά του τη στιγμή που θα έχει χάσει το 30% της κινητικής του ενέργειας; Σε ποιο ύψος θα βρίσκεται τότε;
Ένα μικρό παιδί κάνει κούνια. Όταν περνάει από το χαμηλότερο σημείο της τροχιάς του απέχει από το έδαφος 0,5m. Κι όταν φτάνει στα άκρα η απόστασή του από το έδαφος γίνεται 1,5m. Με πόση ταχύτητα περνάει από το χαμηλότερο σημείο της τροχιάς;
Άσκηση 13
Από ύψος Η=11,25m εκτοξεύουμε προς τα πάνω μικρή και συμπαγή σφαίρα με ταχύτητα . Υπολόγισε:
1. Πόσο είναι το μέγιστο ύψος που ανεβαίνει η αφαίρα.
2. Με πόση ταχύτητα υ κτυπάει στο έδαφος.
Άσκηση 14
Ένα μοντέλο πυραύλου έχει μάζα 4kg και εκτοξεύεται από το έδαφος έτσι ώστε, όταν φτάνει σε ύψος 350m, η ταχύτητά του είναι κατακόρυφη και ίση με 210m/s. Στο ύψος αυτό τελειώνουν τα καύσιμα του πυραύλου, οπότε το υπόλοιπο ταξίδι του γίνεται χωρίς να λειτουργούν οι μηχανές του. Υποθέστε ότι οι τριβές είναι αμελητέες και όλες οι δυναμικές ενέργειες μετριώνται από το έδαφος. Υπολόγισε:
1. Ποια είναι η μηχανική του ενέργεια στο ύψος των 350m.
2. Ποια θα είναι η δυναμική του ενέργεια όταν φτάνει στο μέγιστο ύψος.
3. Πόσο είναι το μέγιστο ύψος που φτάνει ο πύραυλος;
4. Όταν πέφτει στο έδαφος, με ποια ταχύτητα κτυπάει;
Αφήνουμε ένα σώμα να πέσει από ύψος Η χωρίς τριβές και αντιστάσεις. Στο ύψος των 8m η κινητική του ενέργεια είναι η μισή της δυναμικής του. Υπολόγισε:
1. Από από ποιο ύψος Η αφήσαμε να πέσει το σώμα.
2. Με πόση ταχύτητα κτυπάει στο έδαφος,
Μία σφαίρα ξεκινάει από το σημείο Α να κυλάει πάνω στην τροχιά χωρίς τριβές. Υπολόγισε τις ταχύτητες στα σημεία Β,Γ,Δ και Ε.
Άσκηση 17
Τα σώματα Σ₁ και Σ₂ συνδέονται μεταξύ τους με ένα λεπτό νήμα, μέσω μιας τροχαλίας, η οποία στρέφεται χωρίς τριβές. Aν αφήσουμε ελεύθερο το Σ₁, να πέσει από ύψος 1,5m, υπολόγισε την ταχύτητα των δύο σωμάτων όταν το Σ₁ θα κτυπάει στο έδαφος.
Άσκηση 18
Ένα εκκρεμές μήκους 5m το απομακρύνουμε από τη θέση ισορροπίας του έτσι ώστε η σφαίρα να έχει μετατοπιστεί οριζόντια κατά 3m. Κατόπιν την αφήνουμε ελεύθερη να κινηθεί.
1. Εφάρμοσε το πυθαγόρειο θεώρημα για να βρεις την κατακόρυφη μετατόπιση h της σφαίρας, τη στιγμή που την αφήνουμε.
2. Βρες την ταχύτητα της σφαίρας όταν αυτή περνάει από τη θέση ισορροπίας.
3. Βρες την ταχύτητά της όταν η σφαίρα βρίσκεται σε κατακόρυφη απόσταση 0,3m από τη θέση ισορροπίας κατά την κίνησή της.
Άσκηση 19
Από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου γωνίας 30⁰και ύψους 0,5m, αφήνουμε σώμα μάζας 0,8kg. Η τριβή μεταξύ του σώματος και του επιπέδου είναι Τ=5Ν. Θα φτάσει το σώμα στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου;
Άσκηση 20