Η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας

Του Richard P. Feynman

Ο Richard P. Feynman, ήταν ένας από τους σημαντικότερους θεωρητικούς φυσικούς του 20ου αιώνα και τιμήθηκε με το βραβείο Νόμπελ το 1965 για τη συμβολή του στην Κβαντική Ηλεκτροδυναμική, Οι διαλέξεις του έμειναν στην ιστορία της επιστήμης ως άριστο παράδειγμα εκλαΐκευσης σπουδαίων φυσικών εννοιών, με αποκορύφωμα την επινόηση των “διαγραμμάτων Φάινμαν”, με τα οποία απλοποιήθηκαν οι υπολογισμοί για την αλληλεπίδραση των στοιχειωδών σωματιδίων.

Μία από τις διάσημες διαλέξεις του Φάινμαν ήταν η διάλεξή του για την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, η οποία δημοσιεύτηκε το 1964, ένα χρόνο δηλαδή πριν του απενεμηθεί το Βραβείο Νόμπελ, στο αμερικάνικο περιοδικό The Physics Teacher.

Είναι μία ευκαιρία για τους φυσικούς να φρεσκάρουν τις γνώσεις τους, αλλά και κάθε ένας που διαθέτει ικανοποιητικό μαθηματικό μπακράουντ και ενδιαφέρον για τις φυσικές επιστήμες να έρθει σε απαφή με μία από τις μεγαλύτερες επιστημονικές θεωρίες.

Η Αρχή της Σχετικότητας

Για περισσότερα από 200 χρόνια πίστευαν ότι οι εξισώσεις της κίνησης που διατυπώθηκαν από τον Νεύτωνα περιέγραφαν σωστά τη φύση, και όταν ανακαλύφθηκε το πρώτο σφάλμα σε αυτούς τους νόμους, είχε ήδη ανακαλυφθεί και ο τρόπος για να διορθωθεί. Τόσο το λάθος όσο και η διόρθωσή του ανακαλύφθηκαν από τον Άινστάιν το 1905.
Ο Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα, το οποίο έχουμε εκφράσει με την εξίσωση

$F=\frac{d(mv)}{dt}$

διατυπώθηκε με την σιωπηρή παραδοχή ότι η μάζα m είναι σταθερή, αλλά τώρα ξέρουμε ότι αυτό δεν είναι αλήθεια και ότι η μάζα ενός σώματος αυξάνεται με την ταχύτητα. Στο διορθωμένο τύπο του Αϊνστάιν το m παίρνει την τιμή

(1) $\begin{equation*} m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \end{equation*}$

όπου η “μάζα ηρεμίας” m₀ αντιπροσωπεύει τη μάζα ενός σώματος, όταν αυτό δεν κινείται και c η ταχύτητα του φωτός, η οποία είναι περίπου 3×10⁵ km/s.
Για εκείνους που θέλουν να μάθουν απλώς όσα χρειάζονται για να μπορούν να λύνουν προβλήματα, αυτό είναι αρκετό για τη θεωρία της σχετικότητας. Αλλάζουν απλώς τους νόμους του Νεύτωνα εισάγοντας έναν παράγοντα διόρθωσης στη μάζα. Από τον ίδιο τον τύπο, είναι εύκολο να δούμε ότι αυτή η αύξηση της μάζας είναι πολύ μικρή σε κανονικές συνθήκες. Ακόμη κι αν η ταχύτητα είναι τόσο μεγάλη όσο ενός δορυφόρου, που περιστρέφεται γύρω από τη Γη με 8km/ sec, τότε υ/c = 8 / 300.000. Αντικαθιστώντας στον τύπο γίνεται φανερό ότι η διόρθωση στη μάζα είναι της τάξεως μόνο του ενός προς δύο με τρία δισεκατομμυριοστά, η οποία είναι αδύνατον να παρατηρηθεί. Στην πραγματικότητα, η ορθότητα του τύπου έχει επιβεβαιωθεί πλήρως από την παρατήρηση πολλών ειδών σωματιδίων, που κινούνται με ταχύτητες που φθάνουν σχεδόν την ταχύτητα του φωτός. Ωστόσο, επειδή το αποτέλεσμα είναι συνήθως πολύ μικρό, είναι αξιοσημείωτο το γεγονός ότι ανακαλύφθηκε θεωρητικά πριν ανακαλυφθεί πειραματικά. Εμπειρικά, σε αρκούντως υψηλή ταχύτητα, το αποτέλεσμα είναι πολύ μεγάλο, αλλά δεν ανακαλύφθηκε μ’ αυτόν τον τρόπο. Ως εκ τούτου, είναι ενδιαφέρον να δούμε πώς ένας νόμος όπου εμπλέκονται τόσο λεπτές τροποποιήσεις (κατά τη στιγμή που ανακαλύφθηκε για πρώτη φορά) ήλθε στο φως από έναν συνδυασμό πειραμάτων και εύλογων συλλογισμών. Συνεισφορές στην ανακάλυψη έγιναν από έναν αριθμό ανθρώπων, το τελικό αποτέλεσμα των εργασιών των οποίων ήταν η ανακάλυψη του Αϊνστάιν.

Υπάρχουν πραγματικά δύο θεωρίες της σχετικότητας του Αϊνστάιν. Αυτό το κεφάλαιο ασχολείται με την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, η οποία χρονολογείται από το 1905. Το 1915 ο Αϊνστάιν δημοσίευσε μια πρόσθετη θεωρία, που ονομάζεται Γενική Θεωρία της Σχετικότητας. Η τελευταία αυτή πραγματεύεται μία θεωρία με την επέκταση της Ειδικής Θεωρίας στην περίπτωση του νόμου της βαρύτητας. Δεν θα συζητήσουμε τη Γενική Θεωρία εδώ.

Η αρχή της σχετικότητας αναφέρθηκε για πρώτη φορά από το Νεύτωνα, σε ένα από τα πορίσματά του στους νόμους της κίνησης: “Οι κινήσεις των σωμάτων που περιλαμβάνονται σε ένα συγκεκριμένο χώρο είναι ίδιες μεταξύ τους, είτε ο χώρος είναι σε κατάσταση ηρεμίας ή κινείται προς τα εμπρός ευθύγραμμα και ομαλά.” Αυτό σημαίνει, για παράδειγμα, ότι αν ένα διαστημόπλοιο κινείται ευθύγραμμα και ομαλά, όλα τα πειράματα που εκτελούνται στο διαστημόπλοιο και όλα τα φαινόμενα που συμβαίνουν στο διαστημόπλοιο, θα εμφανίζονται τα ίδια όπως εάν το διαστημόπλοιο δεν κινείται, υπό την προϋπόθεση, φυσικά, ότι δεν βλέπεις προς τα έξω. Αυτό είναι το νόημα της αρχής της σχετικότητας. Είναι μια αρκετά απλή ιδέα και το μόνο ερώτημα που τίθεται είναι, αν είναι αλήθεια, ότι όλα τα πειράματα που εκτελούνται μέσα σε ένα κινούμενο σύστημα και οι νόμοι της φυσικής, είναι ίδιοι, όπως θα ήταν, αν το σύστημα ήταν ακίνητο. Ας εξετάσουμε πρώτα κατά πόσον οι νόμοι του Νεύτωνα παραμένουν οι ίδιοι σε κινούμενο σύστημα.

Εικ. 1. Δύο συστήματα αναφοράς που κινούνται με σταθερή σχετική μεταξύ τους ταχύτητα κατά μήκος του άξονα x.

Ας υποθέσουμε ότι ο Moe κινείται προς τη διεύθυνση x με σταθερή ταχύτητα u και μετρά τη θέση ενός σταθερού σημείου Ρ, που φαίνεται στην Εικ. 1. Η “x-απόσταση” του Moe από το σημείο P στο σύστημα συντεταγμένων του παριστάνεται με x΄. Ο Joe είναι σε κατάσταση ηρεμίας και μετρά την θέση του ίδιου σημείου, στο δικό του σύστημα ως x. Η σχέση των συντεταγμένων στα δύο συστήματα είναι σαφής από το διάγραμμα. Μετά από χρόνο t η αρχική θέση του Moe έχει μετακινηθεί απόσταση ut, και εάν τα δύο συστήματα αρχικά συνέπιπταν θα έχουμε:

(2) $\begin{equation*} \begin{align} &{ x' = x-u \cdot t} \\ &{y' = y }\\ &{z' = z }\\ &{t' = t }\\ \end{align} \end{equation*}$

Αν αντικαταστήσουμε αυτό το μετασχηματισμό των συντεταγμένων στους νόμους του Νεύτωνα βρίσκουμε ότι αυτοί οι νόμοι μετασχηματίζονται στους ίδιους νόμους στο αρχικό σύστημα. Δηλαδή, οι νόμοι του Νεύτωνα είναι της ίδιας μορφής σε ένα κινούμενο σύστημα, όπως σε ένα στατικό σύστημα και ως εκ τούτου είναι αδύνατο να πει κανείς, κάνοντας μηχανικά πειράματα, αν το σύστημα κινείται ή όχι.
Η αρχή της σχετικότητας έχει χρησιμοποιηθεί στη μηχανική για μεγάλο χρονικό διάστημα. Είχε υιοθετηθεί από διάφορους ανθρώπους, ιδίως από τον Huygens, για να προκύψουν οι αρχές που ισχύουν όταν συγκρούονται οι μπάλες του μπιλιάρδου, με τον ίδιο τρόπο όπως τη χρησιμοποιήσαμε στο παρελθόν για να συζητήσουμε τη διατήρηση της ορμής. Κατά τον προηγούμενο αιώνα (σ.μ. 19ο) το ενδιαφέρον σ’ αυτή εντάθηκε κατά την έρευνα των φαινομένων του ηλεκτρισμού, του μαγνητισμού και του φωτός. Μια μακρά σειρά προσεκτικών μελετών αυτών των φαινομένων από πολλούς ανθρώπους κορυφώθηκε στις εξισώσεις του Maxwell του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, οι οποίες περιγράφουν τον ηλεκτρισμό, τον μαγνητισμό, και το φως σε ένα ενιαίο σύστημα. Ωστόσο, οι εξισώσεις του Maxwell δεν φαίνεται να υπακούουν στην αρχή της σχετικότητας. Δηλαδή, αν έχουμε μετασχηματίσει τις εξισώσεις του Μάξγουελ με την αντικατάσταση των εξισώσεων (2), η μορφή τους δεν παραμένει η ίδια. Ως εκ τούτου, σε ένα διαστημικό σκάφος τα ηλεκτρικά και οπτικά φαινόμενο θα πρέπει να είναι διαφορετικά από εκείνα σε σταθμευμένο διατημόπλοιο. Έτσι, κάποιος θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει αυτά τα οπτικά φαινόμενα για να προσδιορίσει την ταχύτητα του σκάφους. Ειδικότερα, θα μπορούσε κανείς να καθορίσει την απόλυτη ταχύτητα του σκάφους κάνοντας κατάλληλες οπτικές ή ηλεκτρικές μετρήσεις. Μία από τις συνέπειες των εξισώσεων Maxwell είναι ότι, αν υπάρχει μια διαταραχή στο πεδίο, έτσι ώστε να παράγεται φως, αυτά τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα βγαίνουν προς τα έξω τρέχοντας προς όλες τις κατευθύνσεις με την ίδια ταχύτητα c, ή 300.000km/sec. Μια άλλη συνέπεια των εξισώσεων είναι ότι, εάν η πηγή της διαταραχής κινείται, το εκπεμπόμενο φως τρέχει στο χώρο με την ίδια ταχύτητα c. Αυτό είναι ανάλογο με την περίπτωση του ήχου, όπου η ταχύτητα των ηχητικών κυμάτων είναι επίσης ανεξάρτητη από την κίνηση της πηγής.
Η ανεξαρτησία της κίνησης της πηγής, στην περίπτωση του φωτός, αναδεικνύει ένα ενδιαφέρον πρόβλημα:
Ας υποθέσουμε ότι είμαστε καβάλα σε ένα αυτοκίνητο που πηγαίνει με ταχύτητα u και εκπέμπoυμε φως που απομακρύνεται από το αυτοκίνητο με ταχύτητα c. Παραγωγίζοντας την πρώτη εξίσωση από τις (2) παίρνουμε:

$\frac{dx'}{dt}=\frac{dx}{dt}-u,$

πράγμα που σημαίνει ότι, σύμφωνα με τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου, η φαινομενική ταχύτητα του εκπεμπόμενου φωτός, όπως το μετράμε από το αυτοκίνητο, δεν θα πρέπει να είναι c, αλλά θα πρέπει να είναι c – u. Για παράδειγμα, εάν το αυτοκίνητο πηγαίνει με 160.000km/sec, και το φως τρέχει με 300.000km/sec, τότε προφανώς το φως θα το βλέπουμε μέσα από το αυτοκίνητο που κινείται από πίσω του, να τρέχει με 140.000km/sec. Σε κάθε περίπτωση, με τη μέτρηση της ταχύτητας του φωτός που φεύγει πέρα από το αυτοκίνητο (εάν ο μετασχηματισμός Γαλιλαίου είναι σωστός για το φως), θα μπορούσε κανείς να προσδιορίσει την ταχύτητα του αυτοκινήτου. Μια σειρά από πειράματα, που πραγματοποιήθηκαν για τον προσδιορισμό της ταχύτητας της Γης και βασίστηκαν σε αυτήν τη γενική ιδέα, όλα απέτυχαν και δεν έδωσαν καμία απολύτως ταχύτητσ. Θα συζητήσουμε ένα από αυτά τα πειράματα με λεπτομέρεια, για να δείξουμε τι ακριβώς έγινε και ποιο ήταν το θέμα. Κάτι συνέβη, φυσικά και κάτι δεν πήγε καλά με τις εξισώσεις της φυσικής. Τι ακριβώς όμως θα μπορούσε να είναι;

Ο Μετασχηματισμός Lorentz

Όταν η αποτυχία των εξισώσεων της Φυσικής στην ανωτέρω υπόθεση ήρθε στο φως, η πρώτη σκέψη ήταν ότι το πρόβλημα πρέπει να βρίσκεται στις νέες εξισώσεις του Maxwell της ηλεκροδυναμικής, οι οποίες ήταν μόλις 20 ετών εκείνη την εποχή. Φάνηκε σχεδόν αυτονόητο ότι αυτές οι εξισώσεις πρέπει να ήταν λάθος, έτσι το μόνο πράγμα που έπρεπε να κάνουμε ήταν να τις αλλάξουμε με τέτοιο τρόπο ώστε, υπό τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου, να ικανοποιείται η αρχή της σχετικότητας. Όταν επιχειρήθηκε αυτό, οι νέοι όροι που έπρεπε να τεθούν στις εξισώσεις οδήγησαν σε προβλέψεις νέων ηλεκτρικών φαινομένων, που δεν υπήρχαν καθόλου, όταν δοκιμάστηκαν πειραματικά και, ως εκ τούτου,ο πειρασμός αυτός έπρεπε να εγκαταλειφθεί. Στη συνέχεια, σταδιακά έγινε φανερό ότι οι νόμοι της ηλεκτροδυναμικής του Maxwell ήταν σωστοί και το πρόβλημα έπρεπε να αναζητήσει αλλού τη λύση του.
Εν τω μεταξύ, ο Η.Α. Lorentz παρατήρησε ένα αξιοσημείωτο και περίεργο πράγμα, όταν έκανε τις ακόλουθες επιμέρους αντικαταστάσεις στις εξισώσεις του Maxwell:

(3) $\begin{equation*} \begin{align} &x'=\frac{x-u \cdot t}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \\ &y =y \\ &z' =z \\ &t'= \frac{t-ux/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \end{align} \end{equation*}$

δηλαδή, όταν αυτός ο μετασχηματισμός εφαρμοστεί στις εξισώσεις του Maxwell, τότε αυτές παραμένουν αναλλοίωτες. Οι εξισώσεις (3) είναι γνωστές ως μετασχηματισμός Lorentz. Ο Αϊνστάιν, μετά από εισήγηση που έγινε αρχικά από τον Poincare, πρότεινε ότι όλοι οι νόμοι της φυσικής πρέπει να είναι τέτοιας φύσεως ώστε να παραμένουν αμετάβλητοι από τον μετασχηματισμό Lorentz. Με άλλα λόγια, πρέπει να αλλάξουμε, όχι τους νόμους της ηλεκτροδυναμικής, αλλά τους νόμους της μηχανικής. Πώς όμως θα αλλάξουμε τους νόμους του Νεύτωνα έτσι ώστε να παραμείνουν αμετάβλητοι από το μετασχηματισμό Lorentz; Αν αυτός είναι ο στόχος, τότε πρέπει να ξαναγράψουμε τις εξισώσεις του Νεύτωνα κατά τέτοιο τρόπο ώστε οι όροι που έχουμε εισαγάγει να ικανοποιούνται. Όπως αποδείχθηκε, το μόνο που χρειάζεται είναι η μάζα m στις εξισώσεις του Νεύτωνα να αντικατασταθεί από τη μορφή που φαίνεται στην Εξ. (1). Όταν γίνεται αυτή η αλλαγή, οι νόμοι του Νεύτωνα και οι νόμοι της ηλεκτροδυναμικής εναρμονίζονται. Στη συνέχεια, αν χρησιμοποιήσουμε τον μετασχηματισμό Lorentz για να συγκρίνουμε τις μετρήσεις του Moe με αυτές του Joe, δε θα είμαστε ποτέ σε θέση να ανιχνεύσουμε αν το σύστημα κινείται, επειδή η μορφή όλων των εξισώσεων θα είναι η ίδια και στα δύο συστήματα συντεταγμένων!
Είναι ενδιαφέρον να συζητήσουμε τι σημαίνει ότι αντικαθιστούμε τον παλιό μετασχηματισμό μεταξύ των συντεταγμένων και του χρόνου με ένα νέο, επειδή ο παλιός (του Γαλιλαίου) φαίνεται να είναι αυτονόητος και ο νέος (του Lorentz) φαίνεται περίεργος. Θα θέλαμε να γνωρίζουμε αν είναι λογικά και πειραματικά πιθανό ότι ο παλιός, και όχι ο νέος, μετασχηματισμός μπορεί να είναι ορθός. Για να φτάσουμε σε συμπέρασμα, δεν είναι αρκετό να μελετήσουμε τους νόμους της μηχανικής, αλλά, όπως έκανε και ο Αϊνστάιν, πρέπει να αναλύσουμε τις ιδέες μας για το χώρο και το χρόνο, προκειμένου να κατανοήσουμε αυτόν το μετασχηματισμό. Θα πρέπει να συζητήσουμε αυτές τις ιδέες και τις επιπτώσεις τους στη μηχανική σε κάποιο βάθος, έτσι ώστε να πούμε εκ των προτέρων ότι η προσσπάθεια θα δικαιωθεί, δεδομένου ότι τα αποτελέσματα θα συμφωνήσουν με το πείραμα.

Το Πείραμα Mickelson-Morley

Όπως αναφέρθηκε ανωτέρω, έγιναν προσπάθειες να προσδιοριστεί η απόλυτη ταχύτητα της Γης μέσω του υποθετικού “αιθέρα” , ο οποίος υποτίθεται ότι γεμίζει όλο το χώρο. Το πιο διάσημο από αυτά τα πειράματα είναι ένα που εκτελέστηκε από τους Michelson και Morley το 1887. Πέρασαν 18 χρόνια μέχρι να έρθει ο Άινστάιν για να ερμηνεύσει τα αρνητικά αποτελέματα του πειράματος.

Το πείραμα Michelson-Morley διεξήχθη με μία συσκευή όπως αυτή που φαίνεται σχηματικά στην Εικ. 2.

Εικ. 2. Σχηματικό διάγραμμα του πειράματαος Mickelson-Morley.

Η συσκευή αυτή ουσιαστικά αποτελείται από μια πηγή φωτός Α, μία μερικώς επαργυρωμένη γυάλινη πλάκα Β, και δύο κάτοπτρα C και Ε, όλα τοποθετημένα σε σταθερή βάση. Οι καθρέπτες τοποθετούνται σε ίσες αποστάσεις L από τη Β Η πλάκα Β χωρίζει μια προσπίπτουσα δέσμη φωτός και οι δύο προκύπτουσες ακτίνες συνεχίζουν σε κάθετες μεταξύ τους κατευθύνσεις στους καθρέπτες, όπου αντανακλώνται και επιστρέφουν πίσω στο Β. Κατά την άφιξή τους πίσω στο Β, οι δύο δέσμες επανασυνδυάζονται σε δύο επάλληλες δέσμες D και F. Εάν ο χρόνος που απαιτείται για το φως για να πάει από το Β έως το Ε και πίσω είναι ο ίδιος όσο ο χρόνος από Β έως το C και πίσω, οι αναδυόμενες δέσμες D και F θα είναι σε φάση και θα αλληλοενισχύονται, αλλά αν οι δύο χρόνοι διαφέρουν ελαφρώς, οι ακτίνες θα είναι ελαφρώς εκτός φάσης και θα προκύψει συμβολή. Αν η συσκευή είναι “σε ηρεμία” ως προς τον αιθέρα,οι χρόνοι θα είναι ακριβώς ίσοι, αλλά αν αυτή κινείται προς τα δεξιά με μία ταχύτητα u, θα πρέπει να υπάρχει μια διαφορά στους χρόνους. Ας δούμε γιατί.
Κατ ‘αρχάς, ας υπολογίσουμε εκ νέου το χρόνο που απαιτείται για το φως για να πάει από το B στο E και πίσω. Έστω ότι ο χρόνος για να πάει το φως από το Β στο Ε είναι t₁ και ο χρόνος επιστροφής του t₂ . Τώρα, ενώ το φως είναι στο δρόμο του από το Β προς τον καθρέφτη Ε, η συσκευή κινείται προς τα δεξιά μια απόσταση u·t₁ έτσι ώστε το φώς θα διανύσει μια συνολική απόσταση L+u·t₁ με ταχύτητα c. Μπορούμε να εκφράσουμε αυτή την απόσταση c·t₁ ώστε να έχουμε:

$c \cdot t_1=L+u \cdot t_1, \quad \acute{\eta} \quad t_1=\frac{L}{c-u}$

(Αυτό το αποτέλεσμα είναι επίσης προφανές από την άποψη ότι η σχετική ταχύτητα του φωτός ως προς τη συσκευή είναι c-u, οπότε ο χρόνος προκύπτει από τη διαίρεση του μήκους L δια της σχετικής ταχύτητας c-u). Με παρόμοιο τρόιπο μπορούμε να υπολογίσουμε το χρόνο t₂ . Κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου η πλάκα B προχώρησε κατά διάστημα u·t₂ , οπότε η απόσταση που διανύει το φως κατά την επιστροφή του θα είναι:

$c \cdot t_2=L-u\cdot t_2, \quad \acute{\eta} \quad t_2=\frac{L}{c+u}$

και άρα ο συνολικός χρόνος είναι:

$t_1+t_2=\frac{2Lc}{c^2-u^2}$

Για διευκόλυνσή μας στο εξής τη σχέση αυτή θα τη γράφουμε υπό τη μορφή:

(4) $\begin{equation*} t_1+t_2=\frac{2L/c}{1-u^2/c^2} \end{equation*}$

Ο δεύτερος υπολογισμός είναι για το χρόνο t₃ που χρειάζεται το φως για τη διαδρομή από την πλάκα Β στον καθρέφτη C. Όπως και πριν ο καθρέφτης C κατά τη διάρκεια του χρόνου t₃ προχώρησε προς τα δεξιά κατά u·t₃ στη θέση C΄. Στον ίδιο χρόνο, το φως ταξίδεψε απόσταση c·t₃ κατά μήκος της υποτείνουσας BC΄ του ορθογωνίου ΒCC΄. Για το ορθογώνιο αυτό έχουμε:

$(c \cdot t_3)^2=L^2+(u \cdot t_3)^2$

$L^2=c^2 \cdot t_3^2-u^2 \cdot t_3^2=(c^2-u^2)t_3^2$

από το οποίο παίρνουμε:

$t_3=\frac{L}{\sqrt{c^2-u^2}}.$

Για το ταξίδι επιστροφής από το C΄ η απόσταση είναι ίδια, λόγω συμμετρίας, όπως φαίνεται από την Εικ. 2. Επομένως ο χρόνος επιστροφής θα είναι ό ίδιος και συνολικός χρόνος πήγαινε-έλα θα είναι 2t₃ . Με μικρή τροποποίηση του τύπου παίρνουμε:

(5) $\begin{equation*} 2t_3=\frac{2L}{\sqrt{c^2-u^2}}=\frac{2L/c}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \end{equation*}$

Μπορούμε τώρα να συγκρίνουμε τους δύο χρόνους που πήραμε. Στις σχέσεις (4) και (5) οι αριθμητές είναι ίδιοι και δίνουν το χρόνο που χρειάζεται το φως για να καλύψει τις αποστάσεις όταν η συσκευή είναι ακίνητη. Στους παρονομαστές, ο όρος u²/c² θα είναι μικρός, εκτός εάν το u μπορεί να συγκριθεί σε μέγεθος με το c. Οι παρονομαστές εκφράζουν τις διορθώσεις στους χρόνους που προκαλούνται από την κίνηση της συσκευής. Και να που οι τροποποιήσεις αυτές δε δίνουν τους ίδιους χρόνους. Για να πάει το φως στο C και πίσω είναι λίγο μικρότερος από το χρόνο ως το E και πίσω, ακόμα κι αν οι καθρέφτες είναι σε ίση απόσταση από το Β, και το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να μετρήσουμε τη διαφορά με ακρίβεια.

Εδώ τίθεται ένα μικρό τεχνικό ζήτημα. Μήπως υποψιάζεστε ότι δεν είναι ίσες οι αποστάσεις L; Πράγματι, στην πράξη δεν μπορούμε να κάνουμε τις αποστάσεις αυτές ακριβώς ίσες. Σ’ αυτή την περίπτωση στρέφουμε τη συσκευή κατά 90⁰ έτσι ώστε η BC να βρίσκεται στη διέυθυνση κίνησης και η ΒΕ στην κάθετη προς αυτήν. Κάθε μικρή διαφορά στα μήκη καθίσταται έτσι ασήμαντη και εκείνο που αναζητούμε είναι μία μετατόπιση στους κροσσούς συμβολής όταν η συσκευή περιστραφεί.
Κατά την εκτέλεση του πειράματος, οι Michelson και Morley προσανατόλισαν τη συσκευή έτσι ώστε η γραμμή BE να ήταν σχεδόν παράλληλη με την τροχιακή κίνηση της γης (σε συγκεκριμένες ώρες της ημέρας και της νύχτας). Αυτή η τροχιακή ταχύτητα είναι περίπου 29km/s, όπως πρέπει να είναι και η ταχύτητα του “ρεύματος αιθέρα” τουλάχιστον σε κάποια στιγμή της ημέρας ή της νύχτας και σε κάποια στιγμή κατά τη διάρκεια του έτους. Η συσκευή ήταν επαρκώς ευαίσθητη να εμφανίσει ένα τέτοιο αποτέλεσμα, αλλά δεν εμφανίστηκε κανένα. Δεν ανιχνεύτηκε καμία ταχύτητα της Γης μέσω του αιθέρα. Το αποτέλεσμα του πειράματος Michelson-Morley ήταν μηδενικό.
Αυτό όμως ήταν πολύ αινιγματικό και ανησυχητικό. Η πρώτη καρποφόρα ιδέα για την εξεύρεση μιας διεξόδου από το αδιέξοδο ήρθε από τον Lorentz. Υπέδειξε ότι τα υλικά σώματα συστέλλονται όταν κινούνται και ότι αυτή η συστολή είναι μόνο προς την κατεύθυνση της κίνησης και επίσης, ότι αν το μήκος είναι L_0, όταν ένα σώμα είναι σε κατάσταση ηρεμίας, στη συνέχεια, όταν κινείται με ταχύτητα u παράλληλη προς το μήκος του, το νέο μήκος, το οποίο ονομάζουμε L_|| (L-παράλληλο), δίνεται από τη σχέση:

(6) $\begin{equation*} L_{||}=L_0 \sqrt{1-u^2/c^2} \end{equation*}$

Όταν αυτή η τροποποίηση εφαρμοστεί στο συμβολόμετρο Mickelson-Morley η απόσταση από το Β στο C δεν αλλάζει, αλλά η απάοσταση από το Β στο Ε μικραίνει και γίνεται $L \sqrt{1-u^2/c^2}$ . Επομένως η εξίσωση (5) δεν αλλάζει, αλλά το L στην εξίσωση (4) πρέπει να αλλάξει σύμφωνα με την εξίσωση (6). Στην περίπτωση αυτή παίρνουμε:

(7) $\begin{equation*} t_1+t_2=\frac{(2L/c) \sqrt{1-u^2/c^2}}{1-u^2/c^2}=\frac{2L/c}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \end{equation*}$

Συγκρίνοντας το αποτέλεσμα αυτό με την εξίσωση (5), βλέπουμε ότι $t_1+t_2=2t_3$ . Έτσι, αν η συσκευή συρρικνώνεται με τον τρόπο που μόλις περιγράψαμε, έχουμε έναν τρόπο να κατανοήσουμε γιατί το πείραμα των Michelson-Morley δε δίνει κανένα αποτέλεσμα. Αν και η υπόθεση της συστολής εξηγούσε με επιτυχία το αρνητικό αποτέλεσμα του πειράματος, ήταν ανοιχτή στην ένσταση ότι επινοήθηκε με αποκλειστικό σκοπό να εξηγήσει μια μεγάλη δυσκολία και ήταν πολύ τεχνητή. Ωστόσο, σε πολλά άλλα πειράματα που πραγματοποιήθηκαν με σκοπό να ανακαλύψουν κάποιον άνεμο αιθέρα, προέκυψαν παρόμοιες δυσκολίες, μέχρι να εμφανιστεί ότι η φύση “συνωμωτούσε” εναντίον του ανθρώπου με την εισαγωγή κάποιου νέου φαινομένου που αναιρούσε κάθε φαινόμενο που σκεφτόταν ότι θα του επέτρεπε τη μέτρηση της ταχύτητας u.
Ήταν τελικά αποδεκτό από τους πάντες, όπως επεσήμανε ο Poincare, ότι η πλήρης συνωμοσία είναι από μόνη της ένας νόμος της φύσης! Ο Poincare τότε είχε προτείνει ότι υπάρχει ένας φυσικός νόμος τέτοιος ώστε να είναι αδύνατον να ανακαλύψεις τον άνεμο του αιθέρα από οποιοδήποτε πείραμα. Δηλαδή, δεν υπάρχει κανένας τρόπος να καθοριστεί μια απόλυτη ταχύτητα.

Ο Μετασχηματισμός του Χρόνου
Ελέγχοντας την ιδέα αν η συστολή του μήκους είναι σε αρμονία με τα πραγματικά δεδομένα που παίρνουμε από άλλα πειράματα, αποδεικνύεται ότι όλα είναι σωστά υπό την προϋπόθεση ότι οι χρόνοι έχουν επίσης τροποποιηθεί, με τον τρόπο που εκφράζεται στην τέταρτη εξίσωση από τις εξισώσεις (3). Αυτό συμβαίνει επειδή ο χρόνος t₃, που υπολογίζεται για το ταξίδι του φωτός από το Β στο C και πίσω, από έναν άνθρωπο που εκτελεί το πείραμα σε ένα κινούμενο διαστημόπλοιο, δεν είναι ο ίδιος με αυτόν που υπολογίζεται από έναν ακίνητο παρατηρητή που παρακολουθεί το διαστημόπλοιο από έξω. Για τον άνθρωπο στο σκάφος, η διάρκεια είναι απλά 2L / c, αλλά από τον άλλο παρατηρητή είναι $(2L / c)/\sqrt{1-u^2/c^2}$ (Εξ. 5). Με άλλα λόγια, όταν ο εξωτερικός παρατηρητής βλέπει τον άνθρωπο στο σκάφος να ανάβει τσιγάρο, όλες οι κινήσεις φαίνονται να γίνονται πιο αργά από το κανονικό, ενώ για τον παρατηρητή που βρίκσκεται εντός, όλα κινούνται στα κανονικά πλαίσια. Έτσι, όχι μόνο πρέπει να μικρύνουν τα μήκη, αλλά επίσης τα όργανα μέτρησης του χρόνου (τα “ρολόγια”), θα πρέπει προφανώς να καθυστερήσουν. Με λίγα λόγια, όταν το ρολόι στο σκάφος γράψει ότι περασε 1 δευτερόλεπτο, όπως το διαβάζει ο ταξιδευτής εντός αυτού, θα δείχνει $1/ \sqrt{1-u^2/c^2}$ δευτερόλεπτα για τον εξωτερικό παρατηρητή. Δηλαδή περισσότερο.
Αυτή η επιβράδυνση των ρολογιών σε ένα κινούμενο σύστημα είναι ένα πολύ περίεργο φαινόμενο και αξίζει να δώσουμε μια εξήγηση. Για να το καταλάβουμε αυτό, θα πρέπει να παρακολουθήσουμε το μηχανισμό του ρολογιού και να δούμε τι συμβαίνει όταν αυτό κινείται. Επειδή αυτό είναι κάτι μάλλον δύσκολο, θα φτιάξουμε ένα πολύ απλό είδος ρολογιού. Επιλέγουμε λοιπόν ένα ανόητο είδος ρολογιού, το οποίο όμως κατ’ αρχήν θα λειτουργήσει: Είναι μια ράβδος (ένα υποδεκάμετρο) με έναν καθρέφτη σε κάθε άκρο και για αρχή στέλνουμε ένα φωτεινό σήμα μεταξύ των κατόπτρων, το φως συνεχίζει να ανεβαίνει και να κατεβαίνει, κάνοντας ένα κλικ κάθε φορά που έρχεται προς τα κάτω, σαν τα κοινά ρολόγια που κάνουν τικ τακ. Κατασκευάζουμε δύο τέτοια ρολόγια, με ακριβώς τα ίδια μήκη και να τα συγχρονίζουμε ώστε να ξεκινήσουν το μέτρημα την ίδια στιγμή. Τότε θα συμφωνούν συνεχώς για πάντα, επειδή είναι ίδια σε μήκος και το φως ταξιδεύει πάντα με την ίδια ταχύτητα c. Δίνουμε να πάρει μαζί του ένα από αυτά τα ρολόγια ο άνθρωπος που μπαίνει στο διαστημόπλοιο και τοποθετεί τη ράβδο κάθετα προς την κατεύθυνση της κίνησης του σκάφους. Τότε το μήκος της ράβδου δεν θα αλλάξει. Πώς ξέρουμε ότι τα κάθετα μήκη δεν αλλάζουν; Οι παρατηρητές μπορούν να συμφωνήσουν να κάνουν σημάδια ο ένας στη ράβδο του άλλου καθώς περνά ο ένας τον άλλον, λαμβάνοντας υπόψη ότι κάθε ράβδος μετράει κατά τον άξονα y. Λόγω συμμετρίας, τα δύο σημάδια πρέπει να έχουν την ίδια y και y ‘ συντεταγμένη, διότι διαφορετικά, όταν συγκρίνουν μεταξύ τους τα αποτελέσματα, ένα σήμα θα είναι πάνω ή κάτω από το άλλο, και έτσι θα μπορούσαμε να πούμε ποιος ήταν αυτός που πραγματικά κινείται.
Τώρα ας δούμε τι συμβαίνει με το κινούμενο ρολόι. Πριν ο άνθρωπος το πάρει μαζί του στο ταξίδι, συμφώνησε ότι ήταν ένα ωραίο, κλασσικό ρολόι και όταν το πάρει μαζί του στο διαστημικό σκάφος δεν θα δει τίποτα περίεργο. Αν δε συνέβαινε αυτό, θα ήξερε ότι κινιόταν-αν δεν άλλαζε τίποτα άλλο λόγω της κίνησης, θα μπορούσε να πει ότι κινιόταν. Αλλά η αρχή της σχετικότητας λέει ότι αυτό είναι αδύνατο σε ένα κινούμενο ευθύγραμμα και ομαλά σύστημα, οπότε τίποτα δεν έχει αλλάξει. Από την άλλη πλευρά, όταν ο εξωτερικός παρατηρητής κοιτάζει το ρολόι να μετρά το χρόνο, βλέπει ότι το φως, κατά τη μετάβασή του από καθρέφτη σε καθρέφτη, να παίρνει μία πορεία “πραγματικά” ζιγκ-ζαγκ, δεδομένου ότι η ράβδος κινείται πλαγίως όλο αυτό το διάστημα. Έχουμε ήδη αναλύσει μια τέτοια ζιγκ-ζαγκ κίνηση σε σχέση με το πείραμα Michelson Morley. Αν σε μια δεδομένη χρονική στιγμή η ράβδος κινείται προς τα εμπρός σε απόσταση ανάλογη της ταχύτητας u στην Εικ. 3, η απόσταση που ταξιδεύει το φως στον ίδιο χρόνο είναι ανάλογη προς την ταχύτητα του φωτός c και η κάθετη απόσταση είναι επόμένως ανάλογη με $\sqrt{c^2-u^2}$ .

Εικ. 3. (α) “Ρολόι φωτός” σε ηρεμία στο σύτημα S΄. (b) Το ίδιο ρολόι κινούμενο ως προς το σύστημα S. (c) Διάγραμμα του διαγώνιου δρόμου που παίρνει η δέσμη φωτός του κινούμενου “ρολογιού φωτός”.

Δηλαδή, χρειάζεται περισσότερος χρόνος για το φως για να πάει από άκρο σε άκρο στο κινούμενο ρολόι, σε σχέση με το στάσιμο ρολόι. Ως εκ τούτου, ο φαινομενικός χρόνος μεταξύ των κλικ είναι μεγαλύτερος για το κινούμενο ρολόι, κατ’ αναλογία της υποτείνουσας του τριγώνου (που είναι η πηγή της τετραγωνικής ρίζας της έκφρασης των εξισώσεών μας). Από το σχήμα αυτό προκύπτει επίσης ότι όσο μεγαλύτερο είναι το u, τόσο πιο αργά φαίνεται να πηγαίνει ο χρόνος του κινούμενου ρολογιού. Δεν είναι μόνο αυτό το συγκεκριμένο είδος ρολογιού που τρέχει πιο αργά, αλλά αν η θεωρία της σχετικότητας είναι σωστή, οποιοδήποτε άλλο ρολόι, που λειτουργεί με οποιαδήποτε τρόπο, φαίνεται, επίσης, να τρέχει πιο αργά και με την ίδια αναλογία – μπορούμε να το πούμε αυτό χωρίς περαιτέρω ανάλυση. Γιατί συμβαίνει αυτό;
Για να δοθεί απάντηση στο παραπάνω ερώτημα, ας υποθέσουμε ότι είχαμε δύο ρολόγια ακριβώς όμοια, με τροχούς και γρανάζια ή ίσως να λειτουργούν με ραδιενεργό διάσπαση ή κάτι άλλο. Στη συνέχεια, ρυθμίζουμε αυτά τα ρολόγια, έτσι ώστε και τα δύο να λειτουργούν σε ακριβή συγχρονισμό με τα πρώτα μας ρολόγια. Όταν το φως ανεβοκατεβαίνει στα πρώτα ρολόγια και ανακοινώνει την άφιξή του με ένα κλικ, τα νέα μοντέλα, ολοκληρώνουν επίσης κάποιο είδος κύκλου, τον οποίο ταυτόχρονα ανακοινώνουν με κάποιες διπλές συμπτώσεις φλας ή κτύπου ή άλλου σήματος. Ένα από αυτά τα ρολόγια το παίρνουμε εντός του χώρου του σκάφους, μαζί με το πρώτο είδος. Ίσως αυτό το ρολόι δεν θα τρέχει πιο αργά, αλλά θα συνεχίσει να κρατάει τον ίδιο χρόνο με το ακίνητο ομόλογό του και έτσι να διαφωνεί με το άλλο κινούμενο ρολόι. Αλλά όχι, αν συμβεί αυτό, ο άνθρωπος στο σκάφος θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει αυτή την αναντιστοιχία μεταξύ των δύο ρολογιών του για τον προσδιορισμό της ταχύτητας του σκάφους, κάτι το οποίο έχουμε υποθέσει ότι είναι αδύνατο. Δε χρειάζεται να ξέρουμε τίποτα για το μηχανισμό λειτουργίας του νέου ρολογιού που θα μπορούσε να προκαλέσει αποτέλεσμα – απλά να ξέρουμε ότι ανεξάρτητα από το λόγο, θα φαίνεται να τρέχει πιο αργά, όπως ακριβώς και το πρώτο.
Τώρα, αν όλα τα κινούμενα ρολόγια τρέχουν πιο αργά, αν δεν υπάρχει τρόπος μέτρησης του χρόνου που να δίνει κάτι άλλο εκτός από βραδύτερο ρυθμό, μπορούμε να πούμε, κατά κάποιο τρόπο, ότι ο χρόνος από μόνος του φαίνεται να είναι πιο αργός μέσα σε ένα διαστημόπλοιο. Όλα τα φαινόμενα εκεί – ο καρδιακός παλμός του ανθρώπου, η διαδικασία της σκέψης του, ο χρόνος που χρειάζεται για να ανάψει ένα πούρο, πόσο καιρός περνάει για να μεγαλώσει και να γεράσει – όλα αυτά τα πράγματα πρέπει να επιβραδυνθούν κατά την ίδια αναλογία, γιατί δεν μπορεί να πει ότι κινείται. Οι βιολόγοι και οι γιατροί μερικές φορές λένε ότι δεν είναι αρκετά βέβαιο ότι ο χρόνος που χρειάζεται για να αναπτυχθεί ένας καρκίνος είναι μεγαλύτερος σε ένα διαστημόπλοιο, αλλά από την άποψη ενός σύγχρονου φυσικού είναι σχεδόν σίγουρο. Αλλιώς θα μπορούσε κανείς να χρησιμοποιήσει το ρυθμό της ανάπτυξης του καρκίνου για τον προσδιορισμό της ταχύτητας του σκάφους!
Ένα πολύ ενδιαφέρον παράδειγμα της επιβράδυνσης του χρόνου με την κίνηση είναι στη διάθεσή μας με τα μ-μεσόνια (μιόνια), που είναι σωματίδια που αποσυντίθενται αυθορμήτως μετά από μια μέση διάρκεια ζωής του 2.2 x 10^-6 sec. Έρχονται στη Γη με τις κοσμικές ακτίνες και μπορούν επίσης να παραχθούν τεχνητά στο εργαστήριο. Μερικά από αυτά αποσυντίθενται στον αέρα, αλλά τα υπόλοιπα διαλύονται όταν συναντήσουν ένα κομμάτι ύλης και σταματούν. Είναι σαφές ότι στο σύντομο διάστημα της ζωής του ένα μιόνιο δεν μπορεί να ταξιδέψει, ακόμα και με την ταχύτητα του φωτός, πάνω από 600 μέτρα. Όμως, αν και τα μιόνια δημιουργούνται στην κορυφή της ατμόσφαιρας, περίπου 10 χιλιόμετρα επάνω, στην πραγματικότητα τα βρίσκουμε στο εργαστήριο εδώ κάτω, στις κοσμικές ακτίνες. Πώς μπορεί να συμβαίνει κάτι τέτοιο; Η απάντηση είναι ότι διαφορετικά μιόνια κινούνται με διαφορετικές ταχύτητες, μερικά από τα οποία είναι πολύ κοντά στην ταχύτητα του φωτός. Ενώ από τη δική τους σκοπιά ζουν μόνο περίπου 2μsec, από τη δική μας άποψη ζουν αρκετά περισσότερο – αρκετά περισσότερο ώστε να μπορούν να φτάσουν τη Γη. Ο συντελεστής με τον οποίο αυξάνεται ο χρόνος είναι $1/\sqrt{1-u^2/c^2}$ , O μέσος χρόνος ζωής των μιονίων διαφορετικών ταχυτήτων έχει μετρηθεί με ακρίβεια και οι τιμές συμφωνούν με αυτόν τον υπολογισμό.
Δε γνωρίζουμε γιατί το μεσόνιο αποσυντίθεται ή ποιος είναι μηχανισμός, αλλά ξέρουμε ότι η συμπεριφορά του ικανοποιεί την αρχή της σχετικότητας. Αυτή είναι η χρησιμότητα της αρχής της σχετικότητας – μας επιτρέπει να κάνουμε προβλέψεις, ακόμα και για πράγματα που διαφορετικά δεν θα ξέραμε πολλά γι αυτά. Για παράδειγμα, πριν να έχουμε καμία ιδέα για το τι προκαλεί τη διάσπαση του μεσονίου, μπορούμε ακόμη να προβλέψουμε ότι, όταν κινείται με τα εννέα δέκατα της ταχύτητας του φωτός, η φαινόμενη διάρκεια ζωής του είναι $2,2 \times 10^{-6}/\sqrt{1-9^2/10^2}$ sec και η πρόβλεψή μας δουλεύει-κι αυτό είναι το καλό.

Η συστολή Lorentz

Τώρα ας επιστρέψουμε στο μετασχηματισμό Lorentz (3) και ας προσπαθήσουμε να έχουμε μια καλύτερη κατανόηση της σχέσης μεταξύ των (x, y, z, t) και (x ‘, y’, z ‘, t’) συστημάτων συντεταγμένων, τα οποία θα ονομάζουμε συστήματα S και S΄ ή συστήματα Joe και Moe, αντίστοιχα. Έχουμε ήδη αναφερθεί ότι η πρώτη εξίσωση βασίζεται στην πρόταση του Lorentz της συστολής του μήκους κατά τη x-κατεύθυνση. Πώς μπορούμε να αποδείξουμε ότι πράγματι συμβαίνει η συστολή; Στο πείραμα Michelson-Morley, τώρα δεχόμαστε, από την αρχή της σχετικότητας, ότι o εγκάρσιος βραχίονας ΒC δεν μπορεί να αλλάξει μήκος, Ωστόσο, το μηδενικό αποτέλεσμα του πειράματος απαιτεί ότι οι χρόνοι πρέπει να είναι ίσoι. Έτσι, για να δώσει το πείραμα ένα μηδενικό αποτέλεσμα, ο διαμήκης βραχίονας BE πρέπει να εμφανίζεται βραχύτερος επί την τετραγωνική ρίζα $\sqrt{1-u^2/c^2}$ . Τι σημαίνει αυτή η συστολή, από την άποψη των μετρήσεων που έγιναν από τον Joe και Moe; Ας υποθέσουμε ότι ο Moe, κινούμενος με το σύστημα S στην διεύθυνση x, μετρά τη x’-συντεταγμένη κάποιου σημείου με μία ράβδο του ενός μέτρου. Βάζει τη ράβδο x΄φορές και έτσι νομίζει ότι η απόσταση είναι x ‘ μέτρα. Από την άποψη του Joe στο σύστημα S, ωστόσο, ο Moe χρησιμοποιεί βραχύτερο ράβδο, έτσι ώστε η “πραγματική” απόσταση που μετράται είναι $x' \sqrt{1-u^2/c^2}$ μέτρα. Στη συνέχεια, αν το σύστημα S ‘έχει διανύσει μια απόσταση ut μακριά από το σύστημα S, ο παρατηρητής του συστήματος S θα έλεγε ότι το ίδιο σημείο, μετρημένο σε συντεταγμένες του, βρίσκεται σε απόσταση $x' \sqrt{1-u^2/c^2}+u \cdot t$ ή

$x'=\frac{x-ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}},$

η οποία είναι η πρώτη εξίσωση των μετασχηματισμών Lorentz.

Tαυτοχρονισμός
Με ανάλογο τρόπο, λόγω της διαφοράς στην κλίμακα του χρόνου, η έκφραση του παρονομαστή εισάγεται στην τέταρτη εξίσωση του μετασχηματισμού Lorentz. Ο πιο ενδιαφέρον όρος σε αυτή την εξίσωση είναι ο $ux/c^2$ στον αριθμητή, επειδή ο όρος αυτός είναι καινούργιος και απροσδόκητος. Τώρα, τι σημαίνει αυτό; Αν κοιτάξουμε την κατάσταση προσεκτικά βλέπουμε ότι τα γεγονότα που συμβαίνουν σε δύο ξεχωριστά μέρη την ίδια στιγμή, όπως φαίνεται από το Moe στο σύστημα S΄, δε συμβαίνουν στον ίδιο χρόνο για το Joe στο S. Αν το ένα γεγονός συμβαίνει στο σημείο x₁ τη χρονική στιγμή t₀ και το άλλο στο σημείο x₂ τη χρονική στιγμή t₀ (την ίδια χρονική στιγμή), βρίσκουμε ότι οι αντίστοιχοι χρόνοι της διάρκειά τους t΄₁ και t΄₂ διαφέρουν κατά τη ποσότητα

$t'_2-t'_1=\frac{u(x_1-x_2)/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}}.$

Αυτή η περίπτωση λέγεται “κατάρρευση του ταυτοχρονισμού σε μια απόσταση”. Και για να κάνουμε τα πράγματα λίγο καθαρότερα, ας δούμε το παρακάτω πείραμα.

Υποθέτουμε ότι ένας άνθρωπος που ταξιδεύει με ένα διαστημόπλοιο (σύστημα S΄) τοποθετεί από ένα ρολόι στο κάθε άκρο του σκάφους και σιγουρεύει ώστε τα δύο ρολόγια να είναι απόλυτα συγχρονισμένα. Υπάρχουν πολλοί τρόποι γι αυτό. Ένας τρόπος, που εμπλέκει λίγους υπολογισμούς, θα ήταν να καθορίσει κατ’ αρχήν ένα σημείο ακριβώς στο μέσο της μεταξύ τους απόστασης των ρολογιών. Κατόπιν, από το σημείο αυτό, στέλνει ένα φωτεινό σήμα, το οποίο θα φύγει και προς τις δύο κατευθύνσεις με την ίδια ταχύτητα c και θα φτάσει στα δύο ρολόγια σαφώς την ίδια χρονική στιγμή. Αυτή η ταυτόχρονη άφιξη του φωτός στα ρολόγια μπορεί να χρησιμοποιηθεί για το συγχρονισμό τους. Υποθέτουμε, λοιπόν, ότι ο κινούμενος άνθρωπος στο σύστημα S΄ συγχρονίζει τα ρολόγια του μ’ αυτόν τον ιδιαίτερο τρόπο. Ας δούμε τώρα αν ο εξωτερικός παρατηρητής στο σύστημα S θα συμφωνούσε ότι τα ρολόγια είναι συγχρονισμένα. Ο άνθρωπος στο σύστημα S΄ δικαιούται να πιστεύει ότι είναι συγχρονισμένα, γιατί δε γνωρίζει ότι κινείται. Αλλά ο άνθρωπος στο σύστημα S έχει λόγους να πιστεύει ότι, αφού το σκάφος κινείται προς τα μπρος, το ρολόι στο μπροστινό άκρο απομακρύνεται από το σήμα του φωτόις, δεδομένου ότι το φως, μέχρι να φτάσει στο ρολόι, έχει να καλύψει μεγαλύτερη από τη μισή απόσταση των δύο ρολογιών. Το πίσω ρολόι όμως, επειδή κινείται κι αυτό προς τα μπρος, θα πιάσει το φωτεινό σήμα σε μικρότερη από τη μισή απόσταση. Συνεπώς, το φως θα φτάσει πιο γρήγορα στο πίσω ρολόι από ό, τι θα φτάσει στο μπροστινό, παρόλο που ο κινούμενος παρατηρητής στο σύστημα S΄ είναι πεπεισμένος ότι τα φωτεινά σήματα φτάνουν ταυτόχρονα. Βλέπουμε λοιπόν ότι, όταν ένας άνθρωπος στο διαστημόπλοιο νομίζει ότι τα ρολόγια στις δύο θέσεις είναι ταυτοχρονισμένα, ίσες τιμές του t΄στο σύστημα συντεταγμένων του αντιστοιχούν σε διαφορετικές τιμές του t σε άλλο σύστημα συντεταγμένων!

Τέσσερα Διανύσματα

Ας δούμε τι άλλο μπορούμε να ανακαλύψουμε στον Μετασχημαστισμό Lorentz. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι ο μετασχηματισμός μεταξύ των x και t είναι ανάλογος στη μορφή με το μετασχηματισμό για τα x και y που μελετήσαμε για την περιστροφή των συντεταγμένων. Είχαμε τότε:

(8) $\begin{equation*} \begin{align} &x'=x \sigma \upsilon \nu \theta+y \eta \mu \theta \\ &y'=y\sigma \upsilon \nu \theta-x \eta \mu \theta, \end{align} \end{equation*}$

στην οποία το νέο x΄ αναμιγνύει το παλιό x και y, και το νέο y΄ αναμιγνύει επίσης τα παλιά x και γ. Ομοίως, στο μετασχηματισμό Lorentz βρίσκουμε ένα νέο x΄ το οποίο είναι μίγμα των x και t, και ένα νέο t΄ το οποίο είναι μίγμα από t και x. Έτσι ο μετασχηματισμός Lorentz είναι ανάλογος με μια περιστροφή, μόνο που αυτή είναι μια “περιστροφή” στο χώρο και χρόνο, κάτι το οποίο είναι μία παράξενη έννοια. Μπορεί να γίνει ένας έλεγχος της αναλογίας με την περιστροφή, υπολογίζοντας την ποσότητα:

(9) $\begin{equation*} x'^2+y'^2+z'^2-c^2t'^2=x^2+y^2+z^2-c^2t^2. \end{equation*}$

Σε αυτή την εξίσωση οι τρεις πρώτοι όροι σε κάθε πλευρά αντιπροσωπεύουν, στην τρισδιάσταση γεωμετρία, το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ ενός σημείου και της αρχικής θέσης (επιφάνεια σφαίρας), η οποία παραμένει σταθερή (αμετάβλητη), ανεξάρτητα από την περιστροφή των αξόνων συντεταγμένων. Ομοίως, η Εξ. (9) δείχνει ότι υπάρχει ένας ορισμένος συνδυασμός που περιλαμβάνει χρόνο και είναι αναλλοίωτος στους μετασχηματισμός Lorentz. Έτσι, υπάρχει πλήρης αναλογία με τη περιστροφή και είναι τέτοιας φύσεως που τα διανύσματα, δηλαδή, οι ποσότητες που περιέχουν “συνιστώσες” και μετασχηματίζουν με τον ίδιο τρόπο όπως οι συντεταγμένες και ο χρόνος, είναι επίσης χρήσιμα σε σύνδεση με τη σχετικότητα.
Έτσι μελετάμε την επέκταση της ιδέας των διανυσμάτων, τα οποία μέχρι στιγμής τα θεωρούσαμε μόνο ως συνιστώσες του χώρου, ώστε να συμπεριλάβουν και τη συνιστώσα του χρόνου. Δηλαδή, αναμένουμε ότι θα υπάρξουν διανύσματα με τέσσερις συνιστώσες, τρεις από τα οποίες είναι όπως οι συνιστώσες ενός συνήθους διανύσματος και με αυτές θα συνδέεται μία τέταρτη συνιστώσα, η οποία είναι το μέρος εκείνο που αναλογεί στο χρόνο. Η έννοια αυτή μπορεί να αναλυθεί περαιτέρω και να βρούμε ότι, αν οι ιδέες της προηγούμενης παραγράφου εφαρμοζόταν για την ορμή, ο μετασχηματισμός δίνει τρεις συνιστώσες του χώρου, που είναι οι συνήθεις συνιστώσες της ορμής και μία τέταρτη, η συνιστώσα του χρόνου, που είναι η ενέργεια.

Σχετικιστική Δυναμική

Είμαστε τώρα έτοιμοι να διερευνήσουμε, γενικότερα, ποια μορφή παίρνουν οι νόμοι της μηχανικής στο πλαίσιο του μετασχηματισμού Lorentz. [Έχουμε ήδη εξηγήσει πώς αλλάζουν το μήκος και ο χρόνος, αλλά όχι το πώς θα πάρουμε το τροποποιημένο τύπο για τη μάζα m (Εξ. 1). Θα το κάνουμε αυτό στο επόμενο κεφάλαιο.] Για να δούμε τις συνέπειες των μετασχηματισμού Αϊνστάιν για τη μάζα m της νευτώνειας μηχανικής, ξεκινάμε με το νόμο του Νεύτωνα ότι η δύναμη είναι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής, ή

$\textbf{F}=d(m \cdot \textbf{v})/dt.$

Η ορμή εξακολουθεί να δίνεται από το mv, αλλά όταν χρησιμοποιούμε το νέο m, αυτό γίνεται

(10) $\begin{equation*} \textbf{p}=m \cdot \textbf{v}=\frac{m_0 \cdot \textbf{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \end{equation*}$

Αυτή είναι η τροποποίηση των νόμων του Νεύτωνα από τον Αϊνστάιν. Σύμφωνα με την τροποποίηση αυτή, αν η δράση και η αντίδραση είναι ακόμη ίσες (κάτι το οποίο μπορεί να μη συμβαίνει στην λεπτομέριά του, αλλά μακροπρόθεσμα), θα υπάρξει διατήρηση της ορμής κατά τον ίδιο τρόπο όπως και πριν, αλλά η ποσότητα που διατηρείται δεν είναι το παλιό $m \cdot \textbf{v}$ με σταθερή τη μάζα, αλλά η ποσότητα που φαίνεται στη (10), η οποία έχει τροποποιημένη μάζα. Όταν αυτή η αλλαγή γίνεται στον τύπο για την ορμή, τη διατήρηση της ορμής εξακολουθεί να λειτουργεί.
Τώρα, ας δούμε πώς μεταβάλλεται η ορμή με την ταχύτητα. Στη νευτώνεια μηχανική είναι ανάλογη με την ταχύτητα και, σύμφωνα με τη (10), σε ένα αξιοσημείωτο εύρος ταχύτητας, αλλά μικρό σε σύγκριση με το c, είναι σχεδόν το ίδιο στη σχετικιστική μηχανική, επειδή η έκφραση της τετραγωνικής ρίζας διαφέρει ελάχιστα από το 1. Αλλά όταν το υ είναι σχεδόν ίσο με c, η έκφραση στη τετραγωνική ρίζα πλησιάζει το μηδέν, και ως εκ τούτου η ορμή πηγαίνει προς το άπειρο.
Τι θα συμβεί αν μια σταθερή δύναμη δρα σε ένα σώμα για μεγάλο χρονικό διάστημα; Στη νευτώνεια μηχανική το σώμα αυξάνει συνεχώς την ταχύτητα μέχρι να πάει πιο γρήγορα από το φως. Αλλά αυτό είναι αδύνατο στη σχετικιστική μηχανική. Στη σχετικότητα, το σώμα συνεχίζει να αυξάνει όχι την ταχύτητα, αλλά την ορμή, η οποία μπορεί συνεχώς να αυξάνεται, διότι αυξάνεται η μάζα. Μετά από κάποια στιγμή δεν υπάρχει σχεδόν καθόλου επιτάχυνση, με την έννοια της αλλαγής της ταχύτητας, αλλά η ορμή του συνεχίζει να αυξάνεται. Φυσικά, όποτε μια δύναμη παράγει πολύ μικρή αλλαγή στην ταχύτητα ενός σώματος, μπορούμε να πούμε ότι το σώμα έχει μεγάλη αδράνεια, και αυτό ακριβώς είναι ό, τι λέει ο τύπος μας για την σχετικιστική μάζα (βλέπε Εξ. 10) – μας λέει δηλαδή ότι η αδράνεια είναι πολύ μεγάλη όταν το υ είναι σχεδόν τόσο όσο το c. Ως παράδειγμα αυτού του αποτελέσματος αναφέρουμε την περίπτωση της εκτροπής των ηλεκτρονίων υψηλής ταχύτητας στο κύκλοτρο που χρησιμοποιείται εδώ στο Caltech, όπου χρειαζόμαστε ένα μαγνητικό πεδίο που είναι 2000 φορές πιο ισχυρό από ό, τι θα αναμενόταν με βάση τους νόμους του Νεύτωνα. Με άλλα λόγια, η μάζα των ηλεκτρονίων στο κύκλοτρο είναι 2000 φορές πιο μεγάλη από την κανονική μάζα τους, περίπου όσο η μάζα του πρωτονίου! Το ότι η μάζα m πρέπει να είναι 2000 φορές η m₀ σημαίνει ότι το 1-υ²/c² πρέπει να είναι 1/4.000.000 και αυτό σημαίνει ότι το 1-υ²/c² διαφέρει από το 1 κατά το 1 προς 4.000.000 ή ότι το υ κατά διαφέρει από το c από το ένα μέρος στο 8.000.000, έτσι ώστε μπορούμε να πούμε ότι τα ηλεκτρόνια τρέχουν με ταχύτητα αρκετά κοντά στην ταχύτητα του φωτός. Αν τα ηλεκτρόνια και το φως ξεκινούσαν από το κύκλοτρο (που εκτιμάται ως 250 μέτρα μακριά) για να φτάσουν στο Bridge Lab, ποιο θα έφτανε πρώτο; Το φως, φυσικά, επειδή το φως πάντα ταξιδεύει ταχύτερα. Πόσο νωρίτερα θα έφτανε; Αυτό είναι πάρα πολύ δύσκολο να πει κανείς- μπορούμε όμως να πούμε πόσο διάστημα θα προηγηθεί το φως: πρόκειται για 2,5 χιλιοστά του εκατοστού, ή το πάχος από ένα φύλλο χαρτί! Όταν τα ηλεκτρόνια πηγαίνουν τόσο γρήγορα οι μάζες τους γίνονται τεράστιες, αλλά η ταχύτητά τους δεν μπορεί να υπερβαίνει την ταχύτητα του φωτός.
Τώρα ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικές περαιτέρω συνέπειες της σχετικιστικής αλλαγής της μάζας. Ας εξετάσουμε την κίνηση των μορίων σε ένα μικρό δοχείο αερίου. Όταν θερμαίνεται το αέριο, η ταχύτητα των μορίων αυξάνεται και ως εκ τούτου η μάζα αυξάνεται επίσης και το αέριο γίνεται βαρύτερο. Ένας κατά προσέγγιση τύπος που εκφράζει την αύξηση της μάζας, στην περίπτωση που η ταχύτητα είναι μικρή, προκύπτει αν εκφράσουμε τη σχέση $m_0/\sqrt{1-v^2/c^2}=m_0(1-v^2/c^2)^{-1/2}$ σε δυναμοσειρά, χρησιμοποιώντας το διωνυμικό θεώρημα. Παίρνουμε:

$m_0(1-v^2/c^2)^{-1/2}=m_0(1+\frac{1}{2}v^2/c^2+\frac{3}{8}v^4/c^4+...).$

Βλέπουμε ξεκάθαρα από τον τύπο ότι η σειρά συγκλίνει γρήγορα όταν το υ είναι μικρό, και οι όροι, μετά τους πρώτους δύο ή τρεις είναι αμελητέοι. Έτσι, κρατώντας μόνο τους δύο πρώτους, μπορούμε να γράψουμε:

(11) $\begin{equation*} m \cong m_0+\frac{1}{2}m_0v^2 \left ( \frac{1}{c^2} \right ) \end{equation*}$

στο οποίο ο δεύτερος όρος στα δεξιά εκφράζει την αύξηση της μάζας λόγω της μοριακής ταχύτητας. Όταν η θερμοκρασία αυξάνει το $v^2$ αυξάνεται ανάλογα, οπότε μπορούμε να πούμε ότι η αύξηση της μάζας είναι ανάλογη με την αύξηση της θερμοκρασίας. Αλλά δεδομένου ότι ο όρος $1/2m_0v^2$ είναι η κινητική ενέργεια παλιού τύπου στη Νευτώνεια λογική, μπορούμε επίσης να πούμε ότι η αύξηση της συνολικής μάζας του αερίου είναι ίση με την αύξηση της κινητικής ενέργειας διαιρεμένης με $c^2$ ή $\Delta m=\Delta (K.E.)/c^2.$

Ισοδυναμία Μάζας και Ενέργειας
Η παραπάνω παρατήρηση οδήγησε τον Αϊνστάιν στην υπόθεση ότι η μάζα ενός σώματος μπορεί να εκφραστεί πιο απλά από ό, τι στον τύπο (1), αν πούμε ότι η μάζα είναι ίση με το συνολικό ενεργειακό περιεχόμενο διαιρoύμενο με $c^2$ . Εάν Εξ. (11) πολλαπλαστεί με $c^2$ το αποτέλεσμα είναι

(12) $\begin{equation*} mc^2 = m _0c^2 + \frac{1}{2}m_0v^2 +... \end{equation*}$

Εδώ, ο όρος στα αριστερά εκφράζει την συνολική ενέργεια του σώματος και αναγνωρίζουμε τον τελευταίο ως τη συνήθη κινητική ενέργεια. Ο Einstein ερμήνευσε το μεγάλο σταθερό όρο, $m_ 0c^2$ , ως μέρος της συνολικής ενέργειας του σώματος, μία εγγενή ενέργεια, γνωστή ως “ενέργεια ηρεμίας”.
Ας παρακολουθήσουμε τις συνέπειές της αποδεχόμενοι, με τον Αϊνστάιν, ότι η ενέργεια ενός σώματος ισούται πάντα v $mc^2$ . Ως ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα, θα βρούμε τον τύπο (1), για τη μεταβολή της μάζας με την ταχύτητα, την οποία μέχρι τώρα απλώς έχουμε υποθέσει ότι ισχύει. Ξεκινάμε με το σώμα σε κατάσταση ηρεμίας, όταν η ενέργεια του είναιv $m_ 0c^2$ . Στη συνέχεια εφαρμόζουμε μια δύναμη στο σώμα, η οποία το θέτει σε κίνηση και του δίνει κινητική ενέργεια. Ως εκ τούτου, καθώς η ενέργεια αυξάνεται, η μάζα επίσης αυξάνεται – αυτό συμβαδίζει με την αρχική υπόθεση. Εφ ‘όσον η δύναμη συνεχίζει να ασκείται, η ενέργεια και η μάζα συνεχίζουν να αυξάνονται. Γνωρίζουμε όμως ότι ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας με το χρόνο ισούται με τη δύναμη επί την ταχύτητα:

(13) $\begin{equation*} \frac{dE}{dt}=\textbf{F} \cdot \textbf{v} \end{equation*}$

Γνωρίζουμε επίσης ότι $F=d(mv)/dt$ . Όταν οι σχέσεις αυτές μαζί με τον ορισμό του Ε μπουν στην Εξ. (13) παίρνουμε:

(14) $\begin{equation*} \frac{d(mc^2)}{dt}=\textbf{v} \cdot \frac{d(m \textbf{v})}{dt}. \end{equation*}$

Θέλουμε να επιλύσουμε αυτή την εξίσωση ως προς τη μάζα m. Για να το πετύχουμε αυτό, χρησιμοποιούμε το μαθηματικό κόλπο να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με το 2m, οπότε αλλάζει η μορφή της εξίσωσης και παίρνουμε:

(15) $\begin{equation*} c^2(2m)\frac{dm}{dt}=2m \textbf{v} \frac{d(m \textbf{v})}{dt}. \end{equation*}$

Πρέπει να απαλλαγούμε από τις παραγώγους, κάτι το οποίο μπορούμε να το πετύχουμε ολοκληρώνοντας και τα δύο μέλη. Η ποσότητα (2m) dm/ dt μπορεί να αναγνωριστεί ως η χρονική παράγωγος του $m^2$ , και της $(2m \textbf{v}) \cdot d(m \textbf{v})/dt$ ως η χρονική παράγωγος της $(mv)^2$ . Έτσι, η Εξ. (15) είναι όπως η

(16) $\begin{equation*} c^2\frac{dm^2}{dt}= \frac{d(m^2v^2)}{dt}. \end{equation*}$

Απαλοίφοντας τα dt και ολοκληρώνοντας εύκολα παίρνουμε:

(17) $\begin{equation*} m^2c^2= m^2v^2+C. \end{equation*}$

Πρέπει να ορίσουμε τη σταθερά C με μεγαλύτερη σαφήνεια. Δεδομένου ότι η εξίσωση (17) πρέπει να αληθεύει για κάθε τιμή της ταχύτητας, μπορούμε να επιλλέξουμε την ειδική περίπτωση όπου υ=0 και να πούμε ότι τότε η μάζα είναι $m_0$ . Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στην Εξ. (17) παίρνουμε:

$m_0^2c^2=0+C.$

Οπότε, χρησιμοποιώντας τη σχέση αυτή. η (17) γίνεται:

(18) $\begin{equation*} m^2c^2= m^2v^2+m_0^2c^2. \end{equation*}$

Διαιρώντας με $c^2$ και αναδιατάσσοντας τους όρους μας δίνει:

$m^2(1-v^2/c^2)=m_0^2,$

από όπου παίρνουμε:

(19) $\begin{equation*} m=m_0/\sqrt{1-v^2/c^2}. \end{equation*}$

Αυτή όμως είναι η Εξ. (1) και είναι ακριβώς ό, τι χρειάζεται για να υπάρξει η ισοδυναμία μεταξύ της μάζας και της ενέργειας της Εξ. (12).

Συνήθως οι αλλαγές αυτές ενέργειας αποτελούν εξαιρετικά μικρές αλλαγές στη μάζα, επειδή τις περισσότερες φορές δεν μπορούμε να παράγουμε πολλή ενέργεια από μια δεδομένη ποσότητα του υλικού. Αλλά σε μια ατομική βόμβα εκρηκτικής ενέργειας ισοδύναμης με 20 χιλιάδες τόνους ΤΝΤ, για παράδειγμα, μπορεί να αποδειχθεί ότι τα υπολείμματα μετά την έκρηξη είναι ελαφρότερα κατά 1 γραμμάριο από την αρχική μάζα του υλικού της αντίδρασης, λόγω της ενέργειας που έφυγε, δηλαδή, η απελευθερωμένη ενέργεια είχε μάζα 1 γραμμαρίου, συμφωνα με τη σχέση $\Delta E=\Delta (mc^2)$ .
Αυτή η θεωρία της ισοδυναμίας μάζας και ενέργειας έχει επιβεβαιωθεί όμορφα από πειράματα στα οποία η ύλη έχει μηδενιστεί, μετατρεπόμενη πλήρως σε ενέργεια: Ένα ηλεκτρόνιο και ένα ποζιτρόνιο ενώνονται με μάζα ηρεμίας για το καθένα $m_0$ . Όταν ενώνονται αποσυντίθενται και αναδύονται δύο ακτίνες γάμμα, με μετρούμενη ενέργεια $m _0c^2$ η κάθε μία. Αυτό το πείραμα μας δίνει έναν άμεσο προσδιορισμό της ενέργειας που συνδέεται με την ύπαρξη της υπόλοιπης μάζας ενός σωματιδίου.