Είναι λάθος ο αριθμός Πι;

Με αφορμή τη Μέρα του Πι

14 Μαρτίου ’15 ή 14/3/15 ή, κατά τον αμερικάνικο τρόπο γραφής των ημερομηνιών, 3/14/15. Αυτά είναι τα πέντε πρώτα ψηφία του γνωστού αριθμού

$\pi$

. Επομένως το Σάββατο 14 Μαρτίου ’15 δικαίως είναι η μέρα του

$\pi$

. Κι αν θέλετε να προχωρήσετε ακόμα πέντε ψηφία, προσθέστε την ώρα 9:26:53, και θα έχετε με ακρίβεια δευτερόλεπτου τη στιγμή που μπορείτε να πείτε ότι “αυτή η στιγμή ανήκει στο

$\pi$

” . Βάλτε επομένως στη σειρά την ημερομηνία και την ακριβή ώρα και θα έχετε γράψει τα δέκα πρώτα ψηφία του θρυλικού αυτού άρρητου αριθμού.

Με αφορμή την ημέρα αυτή, την οποία θα ξανασυναντήσουμε μετά από μερικούς αιώνες αν θέλουμε να ξαναδούμε και πάλι τα δέκα πρώτα ψηφία, δείτε ένα ενδιαφέρον άρθρο του Bob Palais από το βιβλίο Pi: A Source Book. Ο Bob Palais αμφισβητεί τον αριθμό

$\pi$

, ως προς τον τρόπο που τον χρησιμοποιούμε διακηρύσσοντας ότι “

$\pi$

Is Wrong”. Γιατί; Ιδού λοιπόν:

Ξέρω ότι μερικοί θα το χαρακτήριζαν ως ύβρι, αλλά θεωρώ ότι ο

$\pi$

είναι λάθος. Για αιώνες ο

$\pi$

απολάμβανε απεριόριστης εκτίμησης. Οι μαθηματικοί έχουν γράψει ραψωδίες γύρω από τα μυστήρια του, χρησιμοποιώντας το ως σύμβολο της μαθηματικής κοινότητας και των μαθηματικών γενικότερα και το εισήγαγαν στους calculators και στις γλώσσες προγραμματισμού. Ακόμη και κινηματογραφικό έργο έχει γυριστεί με το όνομά του. Δεν αμφισβητώ τη λογική του, την υπεροχή του ή τον αριθμητικό υπολογισμό του, αλλά την επιλογή του ως έναν αριθμό στον οποίο έχουμε εναποθέσει πολύ σημαντικά γεωμετρικά ζητήματα. Η κατάλληλη τιμή η οποία εκφράζει όλο το σεβασμό και την ευλάβεια, εν αντιθέσει με τον τρέχοντα αριθμό

$\pi$

, είναι δυστυχώς τώρα ένας αριθμός γνωστός ως

$2\pi$

. Ας τον συμβολίσουμε με

$\tau$

. Δηλαδή

$\tau=2\pi$

Δεν αισθάνομαι απαραίτητα ότι ο

$\pi$

μπορεί να αλλάξει ή ακόμη να αντικατασταθεί από κάποιον άλλον (αν και μέχρι τώρα έχω δει κάποιες προτάσεις), αλλά είναι σημαντικό να αναγνωρίσουμε τις επιπτώσεις ενός λάθους ως μια προειδοποίηση και ένα μάθημα για τον τρόπο της επιλογής καλών συμβάσεων για την ανταλλαγή των μαθηματικών ιδεών. Συγκρίνω το πρόβλημα με αυτό του τι θα συνέβαινε αν ο Leonard Euler είχε ορίσει τον αριθμό

$e$

ως 0,3678…, δηλαδή τον αντίστροφο από αυτό που γνωρίζουμε:

$\frac{1}{2,718...}$

. Στην περίπτωση αυτή θα υπήρχαν τόσα πολλά ανεπιθύμητα αρνητικά πρόσημα να αιωρούνται γύρω γύρω, εξ αιτίας αυτής της επιλογής, όσοι συντελεστές 2 υπάρχουν εξ αιτίας του

$\pi=3,14...$

Η πιο σημαντική συνέπεια του κακού ορισμού του

$\pi$

είναι για τους νέους σπουδαστές της γεωμετρίας και τριγωνομετρίας στους οποίους οι μαθηματικοί τους λένε ότι η μέτρηση σε rad (ακτίνια) είναι πιο φυσική από τη μέτρηση σε μοίρες. Στην ουσία πράγματι είναι, δεδομένου ότι το ένα τέταρτο του κύκλου είναι πιο φυσικό να μετράμε ως 1,57…. παρά ως $90^0$ . Δυστυχώς αυτή η πολύ όμορφη ιδέα σαμποτάρεται από το γεγονός ότι το

$\pi$

δεν είναι 6,28…, το οποίο θα έκανε το τέταρτο του κύκλου ή το τεταρτημόριο ίσο με

$\pi/4$

rad, το ένα τρίτο του κύκλου ίσο με

$\pi/3$

rad κ.ο.κ. Η ευκαιρία να εντυπωσιάσουμε τους μαθητές και φοιτητές με μία όμορφη και φυσική απλούστευση, μετατράπηκε σε μία παράλογη άσκηση απομνημόνευσης και δογματισμού. Μία εμφανής αναλογία είναι να αφήσουμε τα ρολόγια όπως είναι, αλλά να ορίσουμε ως ώρα τα 30 λεπτά. Σ’ αυτήν την περίπτωση τα 15 λεπτά ή το τέταρτο του ρολογιού θα τα λέγαμε μισή ώρα, ακριβώς όπως τώρα λέμε το τέταρτο του κύκλου μισό

$\pi$

στα μαθηματικά! Ακόμη και τα σύνθετα μαθηματικά λογισμικά προτιμούν να χρησιμοποιούν

$90^0$

για να ορίσουν περιστροφή ίση με το τέταρτο του κύκλου. Δεν μπορούμε να τα κατηγορήσουμε για το ό, τι το

$\pi$

είναι λάθος.

Ίσως πιο πειστικό για τους μαθηματικούς είναι ένα κατεβατό από σπουδαία θεωρήματα και τύπους στα οποία αυτός o πανταχού παρών συντελεστής 2 έχει παρεισφρήσει και αναπαράγεται. Το ολοκλήρωμα του Cauchy και οι σειρές Fourier όλα αρχίζουν με το

$\frac{1}{2\pi}$

. Η προσέγγιση του Stirling και η κανονική κατανομή του Gauss και οι δύο το μεταφέρουν, τα θεωρήματα Gauss-Bonet και Picard έχουν επίσης το σήμα του

$2\pi$

. (Ο Αρχιμήδης έδειξε ότι η επιφάνεια της μοναδιαίας σφαίρας είναι η επιφάνεια κυλίνδρου ίδιας ακτίνας και ύψους ή δύο φορές η περίμετρος του μοναδιαίου κύκλου:

$4\pi=2(2\pi)$

.) Τα επακόλουθα του συντελεστή 2 επηρεάζουν και τη Φυσική, όπως π.χ. στις εξισώσεις Maxwell (Νόμος του Causs, Νόμος του Ampère, σταθερά του Coulomb), στη σταθερά του Planck,

$\frac{h}{2\pi}$

. Ο τύπος του Euler θα μπορούσε να είναι

$e^{i\pi}=1$

(ή

$e^{i\pi/2}=-1$

, στον οποίο περιλαμβάνεται επι πλέον η θεμελιώδης σταθερά 2). Δε θα ήταν πιο ωραίο αν η περίοδος των θεμελιωδών κυκλικών συναρτήσεων συνθ και ημθ ήταν το

$\pi$

και όχι το

$2\pi$

; Δε θα ήταν πιο ωραίο αν τα ημιεπίπεδα ολοκληρωματα, όπως ο μετασχημαστισμός Hilbert, χαρακτηρίζονταν από την εμφάνιση του συντελεστή 2 παρά από τη μη υπάρξή του;

Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του τριγώνου είναι

$\pi$

, αλλά το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών οποιουδήποτε πολυγώνου, από το οποίο μπορεί εύκολα να προκύψει το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών και που γενικεύεται στο επικαμπύλιο ολοκλήρωμα μιας απλής κλειστής καμπύλης, είναι

$2\pi$

. Ο φυσικός τύπος για την επιφάνεια του κύκλου,

$\frac{1}{2} \pi r^2$

, έχει τη γνωστή μορφή του

$\frac{1}{2} g t^2$

ή του

$\frac{1}{2}m v^2$

, θα είχε εισαγάγει καλές συνήθιες για την παράσταση τετραγωνικών ποσοτήτων και θα προδιέγραφε μια σύνδεση μεταξύ της επιφάνειας του κύκλου και του ολοκληρώματος κατά μήκος της περιφέρειας (σε συνάρτηση με την ακτίνα) καλύτερα από τη σχέση

$\pi r^2$

. Για να το θέσουμε διαφορετικά, η ακτίνα είναι πολύ πιο βολική από τη διάμετρο – λαμβάνοντας υπόψη τι σημαίνει μοναδιαίος κύκλος. Αν δε συνέβαινε κάτι τέτοιο, θα έλεγα ότι η παραδοσιακή επιλογή του

$\pi$

θα ήταν καλύτερη.

Βεβαίως, θα μπορούσε κανείς να πει ότι τίποτα από όλα αυτά δε συμβαίνουν ή επηρεάζουν τα μαθηματικά, επειδή μπορούμε να ορίσουμε τα πράγματα όπως εμείς επιθυμούμε. Και αυτό είναι σωστό. Αλλά η αναλογία με το

$e$

που αναφέρθηκε πιο πριν ή η ιδέα να ξαναορίσουμε το σύμβολο

$i$

ως

$\frac{\sqrt{-1}}{2}$

, δείχνει το παράλογο του

$\pi$

. Ούτε αυτές οι αλλαγές θα άλλαζαν τα μαθηματικά, αλλά ούτε και κανείς θα μπορούσε να αρνηθεί ότι είναι παράλογες.

Εκείνο που πραγματικά με στεναχωρεί είναι ότι το πρώτο πράγμα που μεταδίδουμε στον κόσμο για να αποδείξουμε την “ευφυΐα” μας είναι το 3,14…. Ελάχιστα με ενδιαφέρει τι θα κάνουν αυτοί που το υποστηρίζουν όταν σταματήσουν να γελούν για δημιουργήματα, για τα οποία σπάνια αμφισβητούν την ορθοδοξία τους. Δεδομένου ότι όλα μεταδίδονται σε δυαδική μορφή (ψηφιακή), μπορούμε να ελπίζουμε ότι θα παραβλέψουν κάτι που ελαφρώς έχει αλλάξει.

Λίγη ιστορία (Εξεπλάγην, όπως και πολλοί άλλοι που τους το είπα, ότι το σύμβολο

$\pi$

δεν το χρησιμοποιούσαν οι αρχαίοι Έλληνες): Το 1647 o μαθηματικός Oughtred χρησιμοποίησε το σύμβολο

$\frac{\pi}{\delta}$

για το λόγο της περιφέρειας του κύκλου προς τη διάμετρο. Ο David Gregory (1697) χρησιμοποίησηε το

$\frac{\pi}{\delta}$

για το λόγο της περιφέρειας του κύκλου προς την ακτίνα. Η πρώτη χρήση του

$\pi$

, όπως τη γνωρίζουμε σήμερα, εγινε από τον Ουαλό μαθηματικό William Jones το 1706 όταν έθεσε

$3,14159...=\pi$

. Ο Euler, που μέχρι τότε χρησιμοποιούσε τα γράμματα p και c, υιοθέτησε το σύμβολο το 1737 και οδήγησε σε παγκόσμια αποδοχή. Μόνο εάν αυτός ή ο Jones είχαν αντικαταστήσει το

$\rho$