Τα μαθηματικά εξηγούν τις απίθανες επιτυχίες και τα θαύματα στις λαχειοφόρες αγορές

Scientific American
By David J. Hand

Γιατί δε θα πρέπει να εκπλήσσεστε όταν συμβαίνουν απίθανες επιτυχίες, θαύματα και άλλα εξαιρετικά γεγονότα – ακόμη κι όταν τα έξι νούμερα του λόττο εμφανίζονται τα ίδια σε δύο διαδοχικές κληρώσεις.

Ένα σύνολο μαθηματικών νόμων που τους αποκαλούμε Αρχή της Απιθανότητας μάς λέει ότι δεν πρέπει να εκπλησσόμαστε από συμπτώσεις. Στην πραγματικότητα, θα πρέπει να περιμένουμε να συμβούν οι συμπτώσεις. Ένα από τα βασικά σκέλη της αρχής είναι ο νόμος των πραγματικά μεγάλων αριθμών. Ο νόμος λέει ότι, δοθέντων αρκετών ευκαιριών, θα πρέπει να περιμένουμε ένα συγκεκριμένο γεγονός να συμβεί, δεν έχει σημασία πόσο απίθανο μπορεί να είναι σε κάθε ευκαιρία. Μερικές φορές, όμως, όταν υπάρχουν πραγματικά πολλές ευκαιρίες, μπορεί να φανεί σαν να υπάρχουν σχετικά λίγες. Αυτή η λανθασμένη αντίληψη μάς οδηγεί να υποτιμούμε κατάφωρα την πιθανότητα ενός γεγονότος: πιστεύουμε ότι κάτι είναι εξαιρετικά απίθανο, όταν στην πραγματικότητα είναι πολύ πιθανό, ίσως σχεδόν βέβαιο.

Πώς μπορεί ένας τεράστιος αριθμός ευκαιριών να συμβεί χωρίς οι άνθρωποι να συνειδητοποιούν ότι υπάρχει; Ο νόμος των συνδυασμών, ένα άλλο σκέλος της αρχής της Απιθανότητας, δείχνει το δρόμο. Λέει : ο αριθμός των συνδυασμών των αλληλεπιδρώντων στοιχείων αυξάνει εκθετικά με τον αριθμό των στοιχείων. Το “πρόβλημα των γενεθλίων” είναι ένα πολύ γνωστό παράδειγμα.

Μήπως το αδύνατον είναι το πιο πιθανό;

Το πρόβλημα των γενεθλίων θέτει το εξής ερώτημα: Πόσοι άνθρωποι πρέπει να είναι σε ένα δωμάτιο για να γίνει πιο πιθανό από το να μη συμβεί δύο από αυτούς να μοιράζονται τα ίδια γενέθλια;

Η απάντηση είναι μόλις 23. Εάν υπάρχουν 23 ή περισσότερα άτομα σε ένα δωμάτιο, τότε η πιθανότητα δύο από αυτούς να έχουν την ίδια ημερομηνία γέννησης είναι μεγαλύτερη από την πιθανότητα να μην την έχουν.

Τώρα αν δεν έχετε αντιμετωπίσει από πριν το πρόβλημα των γενεθλίων, αυτό μπορεί να σας χτυπήσει ως έκπληξη. Είκοσι τρεις μπορεί να ακούγεται πάρα πολύ μικρός αριθμός. Ίσως αυτό να αιτιολογείται ως εξής: Υπάρχει μόνο μία προς 365 πιθανότητα που ορίζει ότι κάποιο συγκεκριμένο άλλο πρόσωπο θα έχει γενέθλια την ίδια μέρα με μένα. Έτσι, υπάρχει 364/365 πιθανότητα ώστε κάποιο συγκεκριμένο άτομο να έχει διαφορετική μέρα γενεθλίων από μένα. Αν υπάρχουν n άτομα σε ένα δωμάτιο και σε κάθε ένα από τα n – 1 άτομα να υπάρχει πιθανότητα 364/365 να έχει διαφορετικά γενέθλια από μένα, τότε η πιθανότητα ώστε όλα τα n – 1 άτομα να έχουν διαφορετικά γενέθλια από μένα είναι 364/365 × 364/365 × 364/365 × 364/365 × … 364/365, με τα 364/365 να πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους n – 1 φορές. Εάν το η είναι 23, το γινόμενο δίνει 0,94 .

Επειδή αυτή είναι η πιθανότητα ώστε κανένας από τους υπόλοιπους να μη μοιράζεται τα γενέθλιά μου, η πιθανότητα ένας τουλάχιστον ένας από αυτούς να έχει γενέθλια την ίδια μέρα με μένα είναι ακριβώς 1 – 0,94 . ( Αυτό προκύπτει από το σκεπτικό ότι είτε κάποιος έχει γενέθλια την ίδια μέρα με μένα ή κανείς, οι πιθανότητες αυτών των δύο γεγονότων πρέπει να δίνουν άθροισμα 1 ) Τώρα , 1 – 0,94 = 0,06. Δηλαδή 6%. Αυτό είναι πολύ μικρό .

Ωστόσο, αυτός είναι ένας λανθασμένος υπολογισμός, γιατί η πιθανότητα αυτή – η πιθανότητα κάποιος να έχει γενέθλια την ίδια μέρα με σας – δεν ήταν το ερώτημα που θέσαμε . Το ερώτημα ήταν σχετικά με την πιθανότητα ώστε δύο οποιαδήποτε άτομα στο ίδιο δωμάτιο να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα, όποια κι αν είναι αυτή. Αυτό περιλαμβάνει την πιθανότητα ένας από τους υπόλοιπους να έχει γενέθλια την ίδια μέρα με τη δική σας, πράγμα το οποίο είναι αυτό που υπολογίστηκε ανωτέρω, αλλά περιλαμβάνει επίσης την πιθανότητα ώστε δύο ή περισσότερα από τα υπόλοιπα άτομα να μοιράζονται τα ίδια γενέθλια, διαφορετικά όμως από τα δικά σας .

Αυτό είναι και το σημείο όπου οι υπολογισμοί πάσχουν. Όπου αντί να υπάρχουν μόνο n – 1 άνθρωποι που θα μπορούσαν να μοιραστούν τα ίδια γενέθλια με σας, υπάρχουν συνολικά μέσα στο δωμάτιο nx( n – 1 ) / 2 ζεύγη ανθρώπων.(σ.μ. Ο αριθμός των ζευγών προκύπτει αν σκεφτούμε ότι κάθε ένα από τα n άτομα μπορεί να γίνει ζεύγος με τα υπόλοιπα n-1 άτομα. Επομένως σχηματίζονται συνολικά nx(n-1) ζεύγη. Επειδή όμως μέσα σ’ αυτά το κάθε ζεύγος το πήραμε δύο φορές, πρέπει το συνολικό πλήθος των ζευγών να διαιρεθεί δια δύο). Ο αριθμός των ζευγαριών αυξάνεται με ταχείς ρυθμούς καθώς το n μεγαλώνει. Όταν το η ισούται με 23 , είναι 253, το οποίο είναι πάνω από 10 φορές πιο μεγάλο από το η – 1 = 22 . Δηλαδή, αν υπάρχουν 23 άτομα σε ένα δωμάτιο , υπάρχουν 253 δυνατά ζεύγη ανθρώπων, αλλά μόνο 22 ζεύγη που περιλαμβάνουν εσάς.

Έτσι, ας δούμε την πιθανότητα ώστε κανένα από τα 23 άτομα στο δωμάτιο να μη μοιράζεται τα ίδια γενέθλια . Για δύο άτομα, η πιθανότητα ο δεύτερος να μην έχει γενέθλια την ίδια μέρα με το πρώτο είναι 364/365 . Στη συνέχεια, η πιθανότητα αυτά τα δύο να είναι διαφορετικά και ένα τρίτο άτομο να μη συμμερίζεται τα ίδια γενέθλια με κανένα από αυτά είναι 364/365 × 363/365. Ομοίως, η πιθανότητα αυτά τα τρία να έχουν διαφορετικά γενέθλια και ένας τέταρτος να μη συμμερίζεται τα ίδια γενέθλια με οποιοδήποτε από αυτά τα τρία πρώτα είναι 364/365 × 363/365 × 362/365 . Συνεχίζοντας έτσι , η πιθανότητα ώστε κανένας από τους 23 άνθρωποι να μη μοιράζεται τα ίδια γενέθλια είναι 364/365 × 363/365 × 362/365 × 361/365 × … 343/365 .

Αυτό ισούται με 0,49 . Επειδή η πιθανότητα κανένας από τους 23 ανθρώπους να μη μοιράζεται την ίδια γενέθλια είναι 0,49, η πιθανότητα ώςτε ορισμένοι από αυτούς να μοιράζονται τα ίδια γενέθλια είναι μόνο 1 – 0,49 , ή 0,51 , το οποίο είναι μεγαλύτερο από το μισό.

Κερδίζοντας το λαχείο

Για ένα άλλο παράδειγμα για το πώς ένα φαινομενικά απίθανο γεγονός είναι πραγματικά πολύ πιθανό, ας δούμε τα λαχεία. Στις 6 Σεπτεμβρίου του 2009 , στο βουλγάρικο λόττο επιλέχτηκαν τυχαία ως κερδοφόροι αριθμοί οι 4 , 15 , 23 , 24 , 35 , 42 . Δεν υπάρχει τίποτα το εκπληκτικό για αυτούς τους αριθμούς. Τα ψηφία που συνθέτουν τους αριθμούς είναι χαμηλές τιμές – 1 , 2, 3 , 4 ή 5 – αλλά αυτό δεν είναι τόσο ασυνήθιστο. Επίσης, υπάρχει ένα συνεχόμενο ζεύγος τιμών, 23 και 24 , αν και αυτό συμβαίνει πολύ πιο συχνά από ό, τι εκτιμάται γενικά (αν ρωτήσετε τους ανθρώπους που επιλέγουν τυχαία έξι αριθμούς από το 1 έως το 49, για παράδειγμα, επιλέγουν διαδοχικά ζεύγη λιγότερο συχνά από ό, τι κάνει η καθαρή πιθανότητα).

Εκείνο όμως που ήταν έκπληξη ήταν αυτό που συνέβη τέσσερις ημέρες αργότερα, στις 10 Σεπτεμβρίου, όπου το βουλγάρικο λόττο επέλεξε τυχαία ως κερδοφόρους αριθμούς τους 4 , 15 , 23 , 24 , 35 , 42 – ακριβώς τους ίδιους αριθμοιύς όπως και την προηγούμενη εβδομάδα . Το γεγονός προκάλεσε κάτι σαν καταιγίδα των μέσων ενημέρωσης εκείνη τη χρονική στιγμή. “Αυτό συμβαίνει για πρώτη φορά στη 52χρονη πορεία της λαχειοφόρου αγοράς. Μείναμε απόλυτα κατάπληκτοι που είδαμε μια τέτοια σατανική σύμπτωση, αλλά αυτό είναι κάτι που συνέβη”, φέρεται να είπε η αρμόδια εκπρόσωπος στο Reuters στις18η Σεπτεμβρίου. Ο τότε υπουργός των σπορ της Βουλγαρίας Svilen Neikov διέταξε έρευνα. Θα μπορούσε να έχει διαπραχθεί μια τέτοια τεράστια απάτη; Μήπως οι προηγούμενοι αριθμοί κατά κάποιο τρόπο είχαν αντιγραφεί;

Στην πραγματικότητα, αυτή η μάλλον εντυπωσιακή σύμπτωση ήταν απλώς άλλο ένα παράδειγμα της αρχής της Απιθανότητας, όπου ο νόμος των πραγματικά μεγάλων αριθμών ενισχύεται από το νόμο των συνδυασμών. Πρώτον, πολλές λαχειοφόρες αγορές πραγματοποιούνται σε όλο τον κόσμο . Δεύτερον, αυτές συμβαίνουν ανά πάσα στιγμή, καθ’ όλη τη διάρκεια του έτους. Αυτό γρήγορα προσθέτει στους αριθμούς που κληρώνονται ένα μεγάλο αριθμό ευκαιριών να επαναληφθούν. Και τρίτον, ο νόμος των συνδυασμών τίθεται σε ισχύ: κάθε φορά που γίνεται μια κλήρωση, θα μπορούσε να περιέχει τους ίδιους αριθμούς που παράχθηκαν σε οποιαδήποτε από τις προηγούμενες κληρώσεις. Σε γενικές γραμμές, όπως και με την κατάσταση των γενεθλίων, αν τρέχετε ένα λαχείο n φορές, υπάρχουν n × ( n – 1 ) / 2 ζεύγη κληρώσεων που θα μπορούσαν να συμπέσουν οι εξάδες των αριθμών .

Η βουλγαρική κλήρωση στην οποία επαναλήφθηκαν οι αριθμοί το 2009 ήταν η έκτη από τις 49 λαχειοφόρες αγορές, έτσι ώστε η πιθανότητα να εμφανιστεί κάποια συγκεκριμένη σειρά έξι αριθμών είναι μία στις 13.983.816 . Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα δύο συγκεκριμένες κληρώσεις να συμπέσουν είναι μία στις 13.983.816 . Αλλά τι γίνεται με την πιθανότητα δύο συγκεκριμένες κληρώσεις ανάμεσα σε τρεις να συμπέσουν; Ή την πιθανότητα να συμπέσουν δύο κληρώςεις μεταξύ 50 κληρώσεων;

Υπάρχουν τρία πιθανά ζεύγη μεταξύ τριών κληρώσεων(σ.μ. 1η-2η, 1η-3η, 2η-3η), αλλά 1.225 μεταξύ 50. Ο νόμος των συνδυασμών έρχεται στο παιχνίδι . Αν θέλουμε να προχωρήσουμε περισσότερο, ανάμεσα σε 1.000 κληρώσεις υπάρχουν 499.500 δυνατά ζεύγη. Με άλλα λόγια , αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό των κληρώσεων επί 20 , αυξάνοντας τες από 50 σε 1000 , η επίδρασή τους στον αριθμό των ζευγών είναι πολύ μεγαλύτερη, πολλαπλασιάζοντας σχεδόν επί 408 και αυξάνοντάς τα από 1.225 έως 499.500 . Μπαίνουμε στο βασίλειο των πραγματικά μεγάλων αριθμών .

Πόσες κληρώσεις θα χρειαζόταν έτσι ώστε η πιθανότητα για την κλήρωση των ίδιων έξι αριθμών να ήταν μεγαλύτερη από 50% – δηλ. η εμφάνιση αυτή να συγκεντρώνει μεγαλύτερη πιθανότητα από ό, τι η μη εμφάνιση; Χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο που χρησιμοποιήσαμε στο πρόβλημα των γενεθλίων οδηγούμαστε σε μια απάντηση του 4.404.

Αν δύο κληρώσεις συμβαίνουν κάθε εβδομάδα , κάνοντας 104 σε ένα χρόνο, ο αριθμός των κληρώσεων θα διαρκέσει λιγότερο από 43 χρόνια. Αυτό σημαίνει ότι μετά από 43 χρόνια, είναι πιο πιθανό να εμφανιστούν ακριβώς δύο ίδιες εξάδες αριθμών στην κληρωτίδα από το να μην εμφανιστούν. Αυτό βάζει μια μάλλον διαφορετική χροιά στην παρατήρηση της αρμόδιας βουλγάρας εκπροσώπου ότι ήταν μια σατανική σύμπτωση.

Και αυτό είναι μόνο για ένα λαχείο. Όταν λάβουμε υπόψη τον αριθμό των λαχειοφόρων αγορών σε όλο τον κόσμο , βλέπουμε ότι θα ήταν καταπληκτικό αν οι κληρώσεις δεν επαναλαμβάνονταν περιστασιακά. Έτσι, δεν θα εκπλαγείτε να μάθετε ότι στο Ισραήλ στο λαχείο Mifal HaPayis, οι αριθμοί που κληρώθηκαν στις 16 Οκτωβρίου 2010 -13 , 14 , 26 , 32 , 33 , 36 – ήταν ακριβώς οι ίδιοι με εκείνους που βγήκαν λίγες εβδομάδες νωρίτερα , στις 21 Σεπτεμβρίου. Δεν θα είχατε εκπλαγεί, αλλά πάρα πολλοί άνθρωποι πλημμύρισαν τα ραδιοφωνικά προγράμματα του Ισραήλ για να παραπονεθούν ότι η κλήρωση ήταν στημένη .

Το αποτέλεσμα της βουλγαρικής κλήρωσης ήταν ασυνήθιστο κατά το γεγονός ότι η σύμπτωση των έξι αριθμών εμφανίστηκε σε διαδοχικές κληρώσεις. Όμως, ο νόμος των πραγματικά μεγάλων αριθμών, σε συνδυασμό με το γεγονός ότι υπάρχουν πολλές λαχειοφόρες αγορές σε όλο τον κόσμο που τακτικά κληρώνουν τους αριθμούς τους, σημαίνει ότι δεν θα πρέπει να εκπλήσσεται κανείς – και γι ‘αυτό δεν θα έπρεπε να αιφνιδιάζεται όταν ακούει γι αυτά που συνέβησαν στο παρελθόν. Για παράδειγμα , στη Βόρεια Καρολίνα στο λαχείο Cash 5 παράχθηκαν οι ίδιοι νικητήριοι αριθμοί στις 9 και 11 Ιουλίου 2007.

Ένας άλλος, μάλλον απογοητευτικός τρόπος με τον οποίο ο νόμος των συνδυασμών μπορεί να δημιουργήσει λαχειοφόρες συμπτώσεις φαίνεται σ’αυτό που συνέβη στη Maureen Wilcox το 1980 . Η κα Wilcox αγόρασε λαχνούς που περιείχαν τους αριθμούς που κέρδιζαν τόσο στη Λοταρία της Μασαχουσέτης όσο και στη Λοταρία του Ρόουντ Άιλαντ. Δυστυχώς γι αυτήν, όμως, η Λοταρία της Μασαχουσέτης έκρινε ότι ο λαχνός της είχε τους νικητήριους αριθμούς για τη Λοταρία του Rhode Island, και το αντίστροφο . Εάν αγοράσετε λαχνούς για 10 λαχεία, έχετε 10 ευκαιρίες να κερδίσετε. Αλλά 10 λαχνοί σημαίνουν 45 ζεύγη λαχνών, έτσι ώστε η πιθανότητα ένας από τους 10 λαχνούς να ταιριάζει με μία από τις 10 κληρώσεις είναι πάνω από τέσσερις φορές μεγαλύτερη από ό, τι πιθανότητες σας να κερδίσετε. Για προφανείς λόγους, αυτό δεν είναι μια συνταγή για την απόκτηση μιας τεράστια περιουσίας, επειδή η σύμπτωση των νικητήριων αριθμών μιας λαχειοφόρου αγοράς με το αποτέλεσμα της κλήρωσης σε μια άλλη, σας αποφέρει μηδενικά κέρδη, εκτός από την υποψία ότι το σύμπαν παίζει μαζί σας .

Ο νόμος των συνδυασμών ισχύει όταν υπάρχουν πολλοί άνθρωποι ή αντικείμενα που αλληλεπιδρούν. Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι έχουμε μια τάξη 30 μαθητών. Μπορούν να αλληλεπιδράσουν με διάφορους τρόπους. Μπορούν να λειτουργήσουν ως άτομα : υπάρχουν 30 από αυτά. Μπορούν να εργαστούν σε ζεύγη: υπάρχουν 435 διαφορετικά ζεύγη. Μπορούν να εργαστούν σε τριάδες: υπάρχουν 4.060 πιθανές διαφορετικές τριάδες. Και ούτω καθεξής, μέχρι , φυσικά , να εργαστούν όλοι μαζί: έχουμε ένα σύνολο όλων των 30 φοιτητών που εργάζονται μαζί .

Συνολικά, ο αριθμός των διαφορετικών πιθανών ομάδων μαθητών που θα μπορούσαν να σχηματιστούν είναι 1.073.741.823 . Αυτό είναι περισσότερο από ένα δισεκατομμύριο, όλα προερχόμενα μόνο από 30 μαθητές. Σε γενικές γραμμές, εάν ένα σύνολο έχει n στοιχεία, υπάρχουν 2ⁿ– 1 πιθανά υποσύνολα που θα μπορούσαν να σχηματιστούν . Εάν n = 100 , το αποτέλεσμα είναι 2¹⁰⁰-1 , η οποία είναι περίπου ίση με 10³⁰, ένας πραγματικά μεγάλος αριθμός με οποιοδήποτε κριτήριο.

Αλλά κι αν ακόμα το 10³⁰ δεν είναι αρκετά μεγάλο για σας, σκεφτείτε τις επιπτώσεις του World Wide Web (διαδικτύου), το οποίο έχει περίπου 2,5 δισεκατομμύρια χρήστες, οποιοσδήποτε από τους οποίους μπορεί να αλληλεπιδράσει με οποιονδήποτε από τους άλλους. Αυτό δίνει 3 × 10¹⁸ζεύγη και 10.750.000.000 δυνατές ομάδες αλληλεπίδρασης των μελών . Ακόμα και γεγονότα με πολύ μικρές πιθανότητες να συμβούν γίνονται σχεδόν βέβαια αν τους δώσουμε τόσες πολλές ευκαιρίες για να συμβούν.

Την επόμενη φορά που θα αντιμετωπίσετε μια φαινομενικά περίεργη σύμπτωση, σκεφτείτε την Αρχή της Απιθανότητας.

Γιάννης Γαϊσίδης

gaisidis@viewonphysics.gr